HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnaddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfnaddi 29030
Description: Additive property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnaddi ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnfnaddi
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10032 . . 3 1 ∈ ℂ
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnli 29027 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = ((1 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
41, 3mp3an1 1451 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = ((1 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
5 ax-hvmulid 27991 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
65oveq1d 6705 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → ((1 · 𝐴) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
76fveq2d 6233 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)))
87adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)))
92lnfnfi 29028 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ℂ
109ffvelrni 6398 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℂ)
1110mulid2d 10096 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · (𝑇𝐴)) = (𝑇𝐴))
1211adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (1 · (𝑇𝐴)) = (𝑇𝐴))
1312oveq1d 6705 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((1 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
144, 8, 133eqtr3d 2693 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906  LinFnclf 27939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-mulcl 10036  ax-mulcom 10038  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-1rid 10044  ax-cnre 10047  ax-hilex 27984  ax-hvmulid 27991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-lnfn 28835
This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  29032  nlelshi  29047
  Copyright terms: Public domain W3C validator