Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfnsubi 28875
 Description: Subtraction property for a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnsubi ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnfnsubi
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11109 . . 3 -1 ∈ ℂ
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnaddmuli 28874 . . 3 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
41, 3mp3an1 1409 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
5 hvsubval 27843 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
65fveq2d 6182 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
72lnfnfi 28870 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ℂ
87ffvelrni 6344 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℂ)
97ffvelrni 6344 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℂ)
10 mulm1 10456 . . . . . 6 ((𝑇𝐵) ∈ ℂ → (-1 · (𝑇𝐵)) = -(𝑇𝐵))
1110oveq2d 6651 . . . . 5 ((𝑇𝐵) ∈ ℂ → ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))) = ((𝑇𝐴) + -(𝑇𝐵)))
1211adantl 482 . . . 4 (((𝑇𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))) = ((𝑇𝐴) + -(𝑇𝐵)))
13 negsub 10314 . . . 4 (((𝑇𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇𝐴) + -(𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
1412, 13eqtr2d 2655 . . 3 (((𝑇𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
158, 9, 14syl2an 494 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
164, 6, 153eqtr4d 2664 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  ℂcc 9919  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   − cmin 10251  -cneg 10252   ℋchil 27746   +ℎ cva 27747   ·ℎ csm 27748   −ℎ cmv 27752  LinFnclf 27781 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-hilex 27826  ax-hv0cl 27830  ax-hvaddid 27831  ax-hfvmul 27832  ax-hvmulid 27833 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-sub 10253  df-neg 10254  df-hvsub 27798  df-lnfn 28677 This theorem is referenced by:  lnfnconi  28884  riesz3i  28891
 Copyright terms: Public domain W3C validator