MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnhl 25705
Description: Either a point 𝐶 on the line AB is on the same side as 𝐴 or on the opposite side. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
lnhl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lnhl.1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
Assertion
Ref Expression
lnhl (𝜑 → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))

Proof of Theorem lnhl
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
2 ishlg.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2756 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4 ishlg.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hlln.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
7 ishlg.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
82, 3, 4, 5, 6, 7tgbtwntriv2 25577 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
98adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
101, 9eqeltrrd 2836 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1110olcd 407 . 2 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
12 lnhl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
13 lnhl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14 ishlg.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
152, 13, 4, 5, 6, 14, 12tglngne 25640 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
162, 13, 4, 5, 6, 14, 15, 7tgellng 25643 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
1712, 16mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
18 df-3or 1073 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
1917, 18sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
2019adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
21 ishlg.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlG‘𝐺)
222, 4, 21, 7, 6, 14, 5ishlg 25692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
2322adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
24 df-3an 1074 . . . . . 6 ((𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))) ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
2523, 24syl6bb 276 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
26 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
2715adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐴𝐵)
2826, 27jca 555 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶𝐵𝐴𝐵))
2928biantrurd 530 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
305adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3114adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐵𝑃)
327adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶𝑃)
336adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐴𝑃)
342, 3, 4, 30, 31, 32, 33tgbtwncomb 25579 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
352, 3, 4, 30, 31, 33, 32tgbtwncomb 25579 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ↔ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
3634, 35orbi12d 748 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
3725, 29, 363bitr2d 296 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
3837orbi1d 741 . . 3 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
3920, 38mpbird 247 . 2 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
4011, 39pm2.61dane 3015 1 (𝜑 → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1071  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928   class class class wbr 4800  cfv 6045  (class class class)co 6809  Basecbs 16055  distcds 16148  TarskiGcstrkg 25524  Itvcitv 25530  LineGclng 25531  hlGchlg 25690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-trkgc 25542  df-trkgb 25543  df-trkgcb 25544  df-trkg 25547  df-hlg 25691
This theorem is referenced by:  hlpasch  25843
  Copyright terms: Public domain W3C validator