MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnhl 26328
Description: Either a point 𝐶 on the line AB is on the same side as 𝐴 or on the opposite side. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
lnhl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lnhl.1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
Assertion
Ref Expression
lnhl (𝜑 → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))

Proof of Theorem lnhl
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
2 ishlg.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2818 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4 ishlg.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hlln.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
7 ishlg.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
82, 3, 4, 5, 6, 7tgbtwntriv2 26200 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
101, 9eqeltrrd 2911 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1110olcd 870 . 2 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
12 lnhl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
13 lnhl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14 ishlg.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
152, 13, 4, 5, 6, 14, 12tglngne 26263 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
162, 13, 4, 5, 6, 14, 15, 7tgellng 26266 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
1712, 16mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
18 df-3or 1080 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
1917, 18sylib 219 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
2019adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
21 ishlg.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlG‘𝐺)
222, 4, 21, 7, 6, 14, 5ishlg 26315 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
24 df-3an 1081 . . . . . 6 ((𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))) ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
2523, 24syl6bb 288 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
2615anim1ci 615 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶𝐵𝐴𝐵))
2726biantrurd 533 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
285adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2914adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐵𝑃)
307adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶𝑃)
316adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐴𝑃)
322, 3, 4, 28, 29, 30, 31tgbtwncomb 26202 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
332, 3, 4, 28, 29, 31, 30tgbtwncomb 26202 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ↔ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
3432, 33orbi12d 912 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
3525, 27, 343bitr2d 308 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
3635orbi1d 910 . . 3 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
3720, 36mpbird 258 . 2 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
3811, 37pm2.61dane 3101 1 (𝜑 → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  distcds 16562  TarskiGcstrkg 26143  Itvcitv 26149  LineGclng 26150  hlGchlg 26313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-trkgc 26161  df-trkgb 26162  df-trkgcb 26163  df-trkg 26166  df-hlg 26314
This theorem is referenced by:  hlpasch  26469
  Copyright terms: Public domain W3C validator