MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnid 25382
Description: Identity law for points on lines. Theorem 4.18 of [Schwabhauser] p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.d = (dist‘𝐺)
lnid.1 (𝜑𝑋𝑌)
lnid.2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnid.3 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
lnid.4 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 𝐴))
Assertion
Ref Expression
lnid (𝜑𝑍 = 𝐴)

Proof of Theorem lnid
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 lnxfr.d . 2 = (dist‘𝐺)
3 tglngval.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tgcolg.z . 2 (𝜑𝑍𝑃)
6 lnxfr.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
7 tglngval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8 tglngval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
9 tglngval.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
10 lnxfr.r . . . 4 = (cgrG‘𝐺)
11 lnid.1 . . . 4 (𝜑𝑋𝑌)
12 lnid.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
13 lnid.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝐴))
14 lnid.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 𝐴))
151, 7, 3, 4, 8, 9, 5, 10, 5, 6, 2, 11, 12, 13, 14lncgr 25381 . . 3 (𝜑 → (𝑍 𝑍) = (𝑍 𝐴))
1615eqcomd 2627 . 2 (𝜑 → (𝑍 𝐴) = (𝑍 𝑍))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 16axtgcgrid 25279 1 (𝜑𝑍 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  distcds 15882  TarskiGcstrkg 25246  Itvcitv 25252  LineGclng 25253  cgrGccgrg 25322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-concat 13248  df-s1 13249  df-s2 13538  df-s3 13539  df-trkgc 25264  df-trkgb 25265  df-trkgcb 25266  df-trkg 25269  df-cgrg 25323
This theorem is referenced by:  tgidinside  25383  tgbtwnconn1lem3  25386
  Copyright terms: Public domain W3C validator