Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmepi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmepi 39563
Description: Epimorphic images of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lnmepi.b 𝐵 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lnmepi ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmepi
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmlmod2 19733 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
213ad2ant1 1125 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
3 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4 lnmepi.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑇)
53, 4lmhmf 19735 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
653ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
7 simp3 1130 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
8 dffo2 6587 . . . . . . 7 (𝐹:(Base‘𝑆)–onto𝐵 ↔ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
96, 7, 8sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)–onto𝐵)
10 eqid 2818 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
114, 10lssss 19637 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇) → 𝑎𝐵)
12 foimacnv 6625 . . . . . 6 ((𝐹:(Base‘𝑆)–onto𝐵𝑎𝐵) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
139, 11, 12syl2an 595 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
1413oveq2d 7161 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎))) = (𝑇s 𝑎))
15 eqid 2818 . . . . 5 (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎))) = (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
16 eqid 2818 . . . . 5 (𝑆s (𝐹𝑎)) = (𝑆s (𝐹𝑎))
17 eqid 2818 . . . . 5 (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
18 simpl2 1184 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝑆 ∈ LNoeM)
1917, 10lmhmpreima 19749 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20193ad2antl1 1177 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
2117, 16lnmlssfg 39558 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LNoeM ∧ (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑆s (𝐹𝑎)) ∈ LFinGen)
2218, 20, 21syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑆s (𝐹𝑎)) ∈ LFinGen)
23 simpl1 1183 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2415, 16, 17, 22, 20, 23lmhmfgima 39562 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎))) ∈ LFinGen)
2514, 24eqeltrrd 2911 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇s 𝑎) ∈ LFinGen)
2625ralrimiva 3179 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇s 𝑎) ∈ LFinGen)
2710islnm 39555 . 2 (𝑇 ∈ LNoeM ↔ (𝑇 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇s 𝑎) ∈ LFinGen))
282, 26, 27sylanbrc 583 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wss 3933  ccnv 5547  ran crn 5549  cima 5551  wf 6344  ontowfo 6346  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632   LMHom clmhm 19720  LFinGenclfig 39545  LNoeMclnm 39553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lmhm 19723  df-lfig 39546  df-lnm 39554
This theorem is referenced by:  lnmlmic  39566  pwslnmlem1  39570  lnrfg  39597
  Copyright terms: Public domain W3C validator