Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmepi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmepi 38157
Description: Epimorphic images of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lnmepi.b 𝐵 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lnmepi ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmepi
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmlmod2 19234 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
213ad2ant1 1128 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
3 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4 lnmepi.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑇)
53, 4lmhmf 19236 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
653ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵)
7 simp3 1133 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
8 dffo2 6280 . . . . . . 7 (𝐹:(Base‘𝑆)–onto𝐵 ↔ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
96, 7, 8sylanbrc 701 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝐹:(Base‘𝑆)–onto𝐵)
10 eqid 2760 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
114, 10lssss 19139 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇) → 𝑎𝐵)
12 foimacnv 6315 . . . . . 6 ((𝐹:(Base‘𝑆)–onto𝐵𝑎𝐵) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
139, 11, 12syl2an 495 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
1413oveq2d 6829 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎))) = (𝑇s 𝑎))
15 eqid 2760 . . . . 5 (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎))) = (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
16 eqid 2760 . . . . 5 (𝑆s (𝐹𝑎)) = (𝑆s (𝐹𝑎))
17 eqid 2760 . . . . 5 (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
18 simpl2 1230 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝑆 ∈ LNoeM)
1917, 10lmhmpreima 19250 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20193ad2antl1 1201 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆))
2117, 16lnmlssfg 38152 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LNoeM ∧ (𝐹𝑎) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝑆s (𝐹𝑎)) ∈ LFinGen)
2218, 20, 21syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑆s (𝐹𝑎)) ∈ LFinGen)
23 simpl1 1228 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2415, 16, 17, 22, 20, 23lmhmfgima 38156 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇s (𝐹 “ (𝐹𝑎))) ∈ LFinGen)
2514, 24eqeltrrd 2840 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝑇s 𝑎) ∈ LFinGen)
2625ralrimiva 3104 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇s 𝑎) ∈ LFinGen)
2710islnm 38149 . 2 (𝑇 ∈ LNoeM ↔ (𝑇 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑇)(𝑇s 𝑎) ∈ LFinGen))
282, 26, 27sylanbrc 701 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → 𝑇 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wss 3715  ccnv 5265  ran crn 5267  cima 5269  wf 6045  ontowfo 6047  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  s cress 16060  LModclmod 19065  LSubSpclss 19134   LMHom clmhm 19221  LFinGenclfig 38139  LNoeMclnm 38147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-lmhm 19224  df-lfig 38140  df-lnm 38148
This theorem is referenced by:  lnmlmic  38160  pwslnmlem1  38164  lnrfg  38191
  Copyright terms: Public domain W3C validator