Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnoadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Addition property of a linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnoadd.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnoadd.5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
lnoadd.6 𝐻 = ( +𝑣𝑊)
lnoadd.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lnoadd (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑇𝐴)𝐻(𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnoadd
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10032 . . 3 1 ∈ ℂ
2 lnoadd.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2651 . . . 4 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4 lnoadd.5 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
5 lnoadd.6 . . . 4 𝐻 = ( +𝑣𝑊)
6 eqid 2651 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
7 eqid 2651 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
8 lnoadd.7 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lnolin 27737 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)𝐺𝐵)) = ((1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴))𝐻(𝑇𝐵)))
101, 9mp3anr1 1461 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)𝐺𝐵)) = ((1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴))𝐻(𝑇𝐵)))
11 simp1 1081 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
12 simpl 472 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
132, 6nvsid 27610 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = 𝐴)
1411, 12, 13syl2an 493 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = 𝐴)
1514oveq1d 6705 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)𝐺𝐵) = (𝐴𝐺𝐵))
1615fveq2d 6233 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)𝐺𝐵)) = (𝑇‘(𝐴𝐺𝐵)))
17 simpl2 1085 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
182, 3, 8lnof 27738 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
19 ffvelrn 6397 . . . . 5 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
2018, 12, 19syl2an 493 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
213, 7nvsid 27610 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴)) = (𝑇𝐴))
2217, 20, 21syl2anc 694 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴)) = (𝑇𝐴))
2322oveq1d 6705 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴))𝐻(𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴)𝐻(𝑇𝐵)))
2410, 16, 233eqtr3d 2693 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑇𝐴)𝐻(𝑇𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  1c1 9975  NrmCVeccnv 27567   +𝑣 cpv 27568  BaseSetcba 27569   ·𝑠OLD cns 27570   LnOp clno 27723 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-1cn 10032 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-map 7901  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-nmcv 27583  df-lno 27727 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator