Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnop0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnop0 28795
 Description: The value of a linear Hilbert space operator at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnop0 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) = 0)

Proof of Theorem lnop0
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9979 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
2 ax-hv0cl 27830 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℋ
31, 2hvmulcli 27841 . . . . . . . 8 (1 · 0) ∈ ℋ
4 ax-hvaddid 27831 . . . . . . . 8 ((1 · 0) ∈ ℋ → ((1 · 0) + 0) = (1 · 0))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 · 0) + 0) = (1 · 0)
6 ax-hvmulid 27833 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℋ → (1 · 0) = 0)
72, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (1 · 0) = 0
85, 7eqtri 2642 . . . . . 6 ((1 · 0) + 0) = 0
98fveq2i 6181 . . . . 5 (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = (𝑇‘0)
10 lnopl 28743 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (0 ∈ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ)) → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
112, 2, 10mpanr12 720 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
121, 11mpan2 706 . . . . 5 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
139, 12syl5eqr 2668 . . . 4 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
14 lnopf 28688 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15 ffvelrn 6343 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ) → (𝑇‘0) ∈ ℋ)
162, 15mpan2 706 . . . . . . 7 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇‘0) ∈ ℋ)
1714, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) ∈ ℋ)
18 ax-hvmulid 27833 . . . . . 6 ((𝑇‘0) ∈ ℋ → (1 · (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝑇 ∈ LinOp → (1 · (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
2019oveq1d 6650 . . . 4 (𝑇 ∈ LinOp → ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0)))
2113, 20eqtrd 2654 . . 3 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0)))
2221oveq1d 6650 . 2 (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)))
23 hvsubid 27853 . . 3 ((𝑇‘0) ∈ ℋ → ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = 0)
2417, 23syl 17 . 2 (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = 0)
25 hvpncan 27866 . . . 4 (((𝑇‘0) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘0) ∈ ℋ) → (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
2625anidms 676 . . 3 ((𝑇‘0) ∈ ℋ → (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
2717, 26syl 17 . 2 (𝑇 ∈ LinOp → (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
2822, 24, 273eqtr3rd 2663 1 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  ℂcc 9919  1c1 9922   ℋchil 27746   +ℎ cva 27747   ·ℎ csm 27748  0ℎc0v 27751   −ℎ cmv 27752  LinOpclo 27774 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-hilex 27826  ax-hfvadd 27827  ax-hvass 27829  ax-hv0cl 27830  ax-hvaddid 27831  ax-hfvmul 27832  ax-hvmulid 27833  ax-hvdistr2 27836  ax-hvmul0 27837 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-sub 10253  df-neg 10254  df-hvsub 27798  df-lnop 28670 This theorem is referenced by:  lnopmul  28796  lnop0i  28799
 Copyright terms: Public domain W3C validator