HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnop0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnop0 28011
Description: The value of a linear Hilbert space operator at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnop0 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) = 0)

Proof of Theorem lnop0
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9846 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
2 ax-hv0cl 27046 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℋ
31, 2hvmulcli 27057 . . . . . . . 8 (1 · 0) ∈ ℋ
4 ax-hvaddid 27047 . . . . . . . 8 ((1 · 0) ∈ ℋ → ((1 · 0) + 0) = (1 · 0))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 · 0) + 0) = (1 · 0)
6 ax-hvmulid 27049 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℋ → (1 · 0) = 0)
72, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (1 · 0) = 0
85, 7eqtri 2627 . . . . . 6 ((1 · 0) + 0) = 0
98fveq2i 6087 . . . . 5 (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = (𝑇‘0)
10 lnopl 27959 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (0 ∈ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ)) → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
112, 2, 10mpanr12 716 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
121, 11mpan2 702 . . . . 5 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
139, 12syl5eqr 2653 . . . 4 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
14 lnopf 27904 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15 ffvelrn 6246 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ) → (𝑇‘0) ∈ ℋ)
162, 15mpan2 702 . . . . . . 7 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇‘0) ∈ ℋ)
1714, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) ∈ ℋ)
18 ax-hvmulid 27049 . . . . . 6 ((𝑇‘0) ∈ ℋ → (1 · (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝑇 ∈ LinOp → (1 · (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
2019oveq1d 6538 . . . 4 (𝑇 ∈ LinOp → ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0)))
2113, 20eqtrd 2639 . . 3 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0)))
2221oveq1d 6538 . 2 (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)))
23 hvsubid 27069 . . 3 ((𝑇‘0) ∈ ℋ → ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = 0)
2417, 23syl 17 . 2 (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = 0)
25 hvpncan 27082 . . . 4 (((𝑇‘0) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘0) ∈ ℋ) → (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
2625anidms 674 . . 3 ((𝑇‘0) ∈ ℋ → (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
2717, 26syl 17 . 2 (𝑇 ∈ LinOp → (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
2822, 24, 273eqtr3rd 2648 1 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  1c1 9789  chil 26962   + cva 26963   · csm 26964  0c0v 26967   cmv 26968  LinOpclo 26990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-hilex 27042  ax-hfvadd 27043  ax-hvass 27045  ax-hv0cl 27046  ax-hvaddid 27047  ax-hfvmul 27048  ax-hvmulid 27049  ax-hvdistr2 27052  ax-hvmul0 27053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-ltxr 9931  df-sub 10115  df-neg 10116  df-hvsub 27014  df-lnop 27886
This theorem is referenced by:  lnopmul  28012  lnop0i  28015
  Copyright terms: Public domain W3C validator