Theorem lnopeq 29177

Description: Two linear Hilbert space operators are equal iff their quadratic forms are equal. (Contributed by NM, 27-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopeq	⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 ∈ LinOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈

Proof of Theorem lnopeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6351	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) → (𝑇‘𝑥) = (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop )‘𝑥))
2	1	oveq1d 6828	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
3	2	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ((if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
4	3	ralbidv 3124	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
5		eqeq1 2764	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) → (𝑇 = 𝑈 ↔ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) = 𝑈))
6	4, 5	bibi12d 334	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) → ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) = 𝑈)))
7		fveq1 6351	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop ) → (𝑈‘𝑥) = (if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop )‘𝑥))
8	7	oveq1d 6828	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop ) → ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
9	8	eqeq2d 2770	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop ) → (((if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ((if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
10	9	ralbidv 3124	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
11		eqeq2 2771	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop ) → (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) = 𝑈 ↔ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) = if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop )))
12	10, 11	bibi12d 334	. 2 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop ) → ((∀𝑥 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) = 𝑈) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) = if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop ))))
13		0lnop 29152	. . . 4 ⊢ 0hop ∈ LinOp
14	13	elimel 4294	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) ∈ LinOp
15	13	elimel 4294	. . 3 ⊢ if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop ) ∈ LinOp
16	14, 15	lnopeqi 29176	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, 0hop ) = if(𝑈 ∈ LinOp, 𝑈, 0hop ))
17	6, 12, 16	dedth2h 4284	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 ∈ LinOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ifcif 4230  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ℋchil 28085   ·_ih csp 28088   0_hop ch0o 28109  LinOpclo 28113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208  ax-hilex 28165  ax-hfvadd 28166  ax-hvcom 28167  ax-hvass 28168  ax-hv0cl 28169  ax-hvaddid 28170  ax-hfvmul 28171  ax-hvmulid 28172  ax-hvmulass 28173  ax-hvdistr1 28174  ax-hvdistr2 28175  ax-hvmul0 28176  ax-hfi 28245  ax-his1 28248  ax-his2 28249  ax-his3 28250  ax-his4 28251  ax-hcompl 28368

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-lm 21235  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cfil 23253  df-cau 23254  df-cmet 23255  df-grpo 27656  df-gid 27657  df-ginv 27658  df-gdiv 27659  df-ablo 27708  df-vc 27723  df-nv 27756  df-va 27759  df-ba 27760  df-sm 27761  df-0v 27762  df-vs 27763  df-nmcv 27764  df-ims 27765  df-dip 27865  df-ssp 27886  df-ph 27977  df-cbn 28028  df-hnorm 28134  df-hba 28135  df-hvsub 28137  df-hlim 28138  df-hcau 28139  df-sh 28373  df-ch 28387  df-oc 28418  df-ch0 28419  df-shs 28476  df-pjh 28563  df-hosum 28898  df-homul 28899  df-hodif 28900  df-h0op 28916  df-lnop 29009  df-hmop 29012

This theorem is referenced by:  leoptri  29304