HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopeq0i 29096
Description: A condition implying that a linear Hilbert space operator is identically zero. Unlike ho01i 28917 for arbitrary operators, when the operator is linear we need to consider only the values of the quadratic form (𝑇𝑥) ·ih 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopeq0.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeq0i (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnopeq0i
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopeq0.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ LinOp
21lnopeq0lem2 29095 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = (((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) / 4))
32adantl 473 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = (((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) / 4))
4 hvaddcl 28099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ)
5 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘(𝑦 + 𝑧)))
6 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
75, 6oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)))
87eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) = 0))
98rspccva 3412 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) = 0)
104, 9sylan2 492 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) = 0)
11 hvsubcl 28104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 𝑧) ∈ ℋ)
12 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 𝑧) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘(𝑦 𝑧)))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 𝑧) → 𝑥 = (𝑦 𝑧))
1412, 13oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 𝑧) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧)))
1514eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 𝑧) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧)) = 0))
1615rspccva 3412 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧)) = 0)
1711, 16sylan2 492 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧)) = 0)
1810, 17oveq12d 6783 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) = (0 − 0))
19 0m0e0 11243 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
2018, 19syl6eq 2774 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) = 0)
21 ax-icn 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i ∈ ℂ
22 hvmulcl 28100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (i · 𝑧) ∈ ℋ)
2321, 22mpan 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℋ → (i · 𝑧) ∈ ℋ)
24 hvaddcl 28099 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (i · 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑦 + (i · 𝑧)) ∈ ℋ)
2523, 24sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + (i · 𝑧)) ∈ ℋ)
26 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)))
2826, 27oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))))
2928eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) = 0))
3029rspccva 3412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 + (i · 𝑧)) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) = 0)
3125, 30sylan2 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) = 0)
32 hvsubcl 28104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (i · 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑦 (i · 𝑧)) ∈ ℋ)
3323, 32sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 (i · 𝑧)) ∈ ℋ)
34 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))))
35 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)))
3634, 35oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))))
3736eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))) = 0))
3837rspccva 3412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 (i · 𝑧)) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))) = 0)
3933, 38sylan2 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))) = 0)
4031, 39oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))) = (0 − 0))
4140, 19syl6eq 2774 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))) = 0)
4241oveq2d 6781 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))))) = (i · 0))
43 it0e0 11367 . . . . . . . . . 10 (i · 0) = 0
4442, 43syl6eq 2774 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))))) = 0)
4520, 44oveq12d 6783 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) = (0 + 0))
46 00id 10324 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
4745, 46syl6eq 2774 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) = 0)
4847oveq1d 6780 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) / 4) = (0 / 4))
49 4cn 11211 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
50 4ne0 11230 . . . . . . 7 4 ≠ 0
5149, 50div0i 10872 . . . . . 6 (0 / 4) = 0
5248, 51syl6eq 2774 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) / 4) = 0)
533, 52eqtrd 2758 . . . 4 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = 0)
5453ralrimivva 3073 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 → ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = 0)
551lnopfi 29058 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5655ho01i 28917 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
5754, 56sylib 208 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 → 𝑇 = 0hop )
58 fveq1 6303 . . . . . 6 (𝑇 = 0hop → (𝑇𝑥) = ( 0hop𝑥))
59 ho0val 28839 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop𝑥) = 0)
6058, 59sylan9eq 2778 . . . . 5 ((𝑇 = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) = 0)
6160oveq1d 6780 . . . 4 ((𝑇 = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = (0 ·ih 𝑥))
62 hi01 28183 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝑥) = 0)
6362adantl 473 . . . 4 ((𝑇 = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → (0 ·ih 𝑥) = 0)
6461, 63eqtrd 2758 . . 3 ((𝑇 = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
6564ralrimiva 3068 . 2 (𝑇 = 0hop → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
6657, 65impbii 199 1 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  0cc0 10049  ici 10051   + caddc 10052   · cmul 10054  cmin 10379   / cdiv 10797  4c4 11185  chil 28006   + cva 28007   · csm 28008   ·ih csp 28009  0c0v 28011   cmv 28012   0hop ch0o 28030  LinOpclo 28034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cc 9370  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129  ax-hilex 28086  ax-hfvadd 28087  ax-hvcom 28088  ax-hvass 28089  ax-hv0cl 28090  ax-hvaddid 28091  ax-hfvmul 28092  ax-hvmulid 28093  ax-hvmulass 28094  ax-hvdistr1 28095  ax-hvdistr2 28096  ax-hvmul0 28097  ax-hfi 28166  ax-his1 28169  ax-his2 28170  ax-his3 28171  ax-his4 28172  ax-hcompl 28289
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-lm 21156  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cfil 23174  df-cau 23175  df-cmet 23176  df-grpo 27577  df-gid 27578  df-ginv 27579  df-gdiv 27580  df-ablo 27629  df-vc 27644  df-nv 27677  df-va 27680  df-ba 27681  df-sm 27682  df-0v 27683  df-vs 27684  df-nmcv 27685  df-ims 27686  df-dip 27786  df-ssp 27807  df-ph 27898  df-cbn 27949  df-hnorm 28055  df-hba 28056  df-hvsub 28058  df-hlim 28059  df-hcau 28060  df-sh 28294  df-ch 28308  df-oc 28339  df-ch0 28340  df-shs 28397  df-pjh 28484  df-h0op 28837  df-lnop 28930
This theorem is referenced by:  lnopeqi  29097
  Copyright terms: Public domain W3C validator