HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnophmi 28055
Description: A linear operator is Hermitian if 𝑥 ·ih (𝑇𝑥) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnophm.1 𝑇 ∈ LinOp
lnophm.2 𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
lnophmi 𝑇 ∈ HrmOp
Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophmi
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnophm.1 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
21lnopfi 28006 . 2 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3 oveq1 6534 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) → (𝑦 ·ih (𝑇𝑧)) = (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) ·ih (𝑇𝑧)))
4 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0)))
54oveq1d 6542 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0)) ·ih 𝑧))
63, 5eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) → ((𝑦 ·ih (𝑇𝑧)) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) ↔ (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) ·ih (𝑇𝑧)) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0)) ·ih 𝑧)))
7 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0) → (𝑇𝑧) = (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0)))
87oveq2d 6543 . . . . 5 (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0) → (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) ·ih (𝑇𝑧)) = (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) ·ih (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0))))
9 oveq2 6535 . . . . 5 (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0) → ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0)) ·ih 𝑧) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0)) ·ih if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0)))
108, 9eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0) → ((if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) ·ih (𝑇𝑧)) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0)) ·ih 𝑧) ↔ (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) ·ih (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0))) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0)) ·ih if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0))))
11 ifhvhv0 27057 . . . . 5 if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) ∈ ℋ
12 ifhvhv0 27057 . . . . 5 if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0) ∈ ℋ
13 lnophm.2 . . . . 5 𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ
1411, 12, 1, 13lnophmlem2 28054 . . . 4 (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) ·ih (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0))) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0)) ·ih if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0))
156, 10, 14dedth2h 4090 . . 3 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ·ih (𝑇𝑧)) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧))
1615rgen2a 2960 . 2 𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇𝑧)) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧)
17 elhmop 27910 . 2 (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇𝑧)) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧)))
182, 16, 17mpbir2an 957 1 𝑇 ∈ HrmOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  ifcif 4036  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9792  chil 26954   ·ih csp 26957  0c0v 26959  LinOpclo 26982  HrmOpcho 26985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-hilex 27034  ax-hfvadd 27035  ax-hvcom 27036  ax-hvass 27037  ax-hv0cl 27038  ax-hvaddid 27039  ax-hfvmul 27040  ax-hvmulid 27041  ax-hvmulass 27042  ax-hvdistr1 27043  ax-hvdistr2 27044  ax-hvmul0 27045  ax-hfi 27114  ax-his1 27117  ax-his2 27118  ax-his3 27119
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-hvsub 27006  df-lnop 27878  df-hmop 27881
This theorem is referenced by:  lnophm  28056
  Copyright terms: Public domain W3C validator