Theorem lnopmul 29746

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopmul	⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnopmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 28782	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		lnopl 29693	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ)) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
3	1, 2	mpanr2 702	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
4	3	3impa 1106	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
5		hvmulcl 28792	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6		ax-hvaddid 28783	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
8	7	3adant1 1126	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
9	8	fveq2d 6676	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)))
10		lnop0 29745	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ)
11	10	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ 0ℎ))
12	11	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ 0ℎ))
13		lnopf 29638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
14	13	ffvelrnda 6853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
15		hvmulcl 28792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
16	14, 15	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
17	16	3impb 1111	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
18	17	3com12 1119	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
19		ax-hvaddid 28783	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
21	12, 20	eqtrd 2858	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
22	4, 9, 21	3eqtr3d 2866	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   ℋchba 28698   +_ℎ cva 28699   ·_ℎ csm 28700  0_ℎc0v 28703  LinOpclo 28726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-hilex 28778  ax-hfvadd 28779  ax-hvass 28781  ax-hv0cl 28782  ax-hvaddid 28783  ax-hfvmul 28784  ax-hvmulid 28785  ax-hvdistr2 28788  ax-hvmul0 28789

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874  df-neg 10875  df-hvsub 28750  df-lnop 29620

This theorem is referenced by:  lnopmuli  29751  homco2  29756