MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnperpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnperpex 25408
Description: Existence of a perpendicular to a line 𝐿 at a given point 𝐴. Theorem 10.15 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmiopp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
lmiopp.m = (dist‘𝐺)
lmiopp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
lmiopp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmiopp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
lmiopp.h (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmiopp.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiopp.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
lnperpex.a (𝜑𝐴𝐷)
lnperpex.q (𝜑𝑄𝑃)
lnperpex.1 (𝜑 → ¬ 𝑄𝐷)
Assertion
Ref Expression
lnperpex (𝜑 → ∃𝑝𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
Distinct variable groups:   ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑄,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡

Proof of Theorem lnperpex
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmiopp.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 lmiopp.m . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
3 lmiopp.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 lmiopp.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 lmiopp.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) → 𝐺 ∈ TarskiG)
76ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
87adantr 479 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9 simprl 789 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝𝑃)
10 lmiopp.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
11 lnperpex.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐷)
121, 4, 3, 5, 10, 11tglnpt 25157 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑃)
1312ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) → 𝐴𝑃)
1413ad3antrrr 761 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴𝑃)
15 simprrl 799 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
164, 8, 15perpln1 25318 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
171, 3, 4, 8, 14, 9, 16tglnne 25236 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴𝑝)
1817necomd 2831 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝𝐴)
191, 3, 4, 8, 9, 14, 18tgelrnln 25238 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
2010ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2120ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2221adantr 479 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
231, 3, 4, 8, 9, 14, 18tglinecom 25243 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) = (𝐴𝐿𝑝))
2423, 15eqbrtrd 4594 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)𝐷)
251, 2, 3, 4, 8, 19, 22, 24perpcom 25321 . . . . 5 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
26 simpr 475 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄𝑂𝑐)
2726adantr 479 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄𝑂𝑐)
28 lmiopp.o . . . . . . 7 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
29 lnperpex.q . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄𝑃)
3029ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) → 𝑄𝑃)
3130ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄𝑃)
3231adantr 479 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄𝑃)
33 simplr 787 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑐𝑃)
3433adantr 479 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐𝑃)
35 simprrr 800 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐𝑂𝑝)
361, 2, 3, 28, 4, 22, 8, 34, 9, 35oppcom 25349 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝𝑂𝑐)
371, 3, 4, 28, 8, 22, 9, 32, 34, 36lnopp2hpgb 25368 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝑄𝑂𝑐𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
3827, 37mpbid 220 . . . . 5 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄)
3925, 38jca 552 . . . 4 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
40 eqid 2604 . . . . 5 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4111ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) → 𝐴𝐷)
4241ad2antrr 757 . . . . 5 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐴𝐷)
431, 2, 3, 28, 4, 21, 7, 31, 33, 26oppne2 25347 . . . . 5 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ¬ 𝑐𝐷)
44 lmiopp.h . . . . . . 7 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
4544ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) → 𝐺DimTarskiG≥2)
4645ad2antrr 757 . . . . 5 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺DimTarskiG≥2)
471, 2, 3, 28, 4, 21, 7, 40, 42, 33, 43, 46oppperpex 25358 . . . 4 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))
4839, 47reximddv 2995 . . 3 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
49 lnperpex.1 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑄𝐷)
501, 3, 4, 5, 10, 29, 28, 49hpgerlem 25370 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 𝑄𝑂𝑐)
5150ad2antrr 757 . . 3 (((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) → ∃𝑐𝑃 𝑄𝑂𝑐)
5248, 51r19.29a 3054 . 2 (((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) → ∃𝑝𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
531, 3, 4, 5, 10, 11tglnpt2 25249 . 2 (𝜑 → ∃𝑑𝐷 𝐴𝑑)
5452, 53r19.29a 3054 1 (𝜑 → ∃𝑝𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  wrex 2891  cdif 3531   class class class wbr 4572  {copab 4631  ran crn 5024  cfv 5785  (class class class)co 6522  2c2 10912  Basecbs 15636  distcds 15718  TarskiGcstrkg 25041  DimTarskiGcstrkgld 25045  Itvcitv 25047  LineGclng 25048  hlGchlg 25208  ⟂Gcperpg 25303  hpGchpg 25362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-pm 7719  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-card 8620  df-cda 8845  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-hash 12930  df-word 13095  df-concat 13097  df-s1 13098  df-s2 13385  df-s3 13386  df-trkgc 25059  df-trkgb 25060  df-trkgcb 25061  df-trkgld 25063  df-trkg 25064  df-cgrg 25119  df-leg 25191  df-hlg 25209  df-mir 25261  df-rag 25302  df-perpg 25304  df-hpg 25363
This theorem is referenced by:  trgcopy  25409
  Copyright terms: Public domain W3C validator