MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnxfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnxfr 25174
Description: Transfer law for colinearity. Theorem 4.13 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.c (𝜑𝐶𝑃)
lnxfr.1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnxfr.2 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
Assertion
Ref Expression
lnxfr (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))

Proof of Theorem lnxfr
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 lnxfr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐴𝑃)
8 lnxfr.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
98adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐶𝑃)
10 lnxfr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐵𝑃)
12 eqid 2604 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
13 lnxfr.r . . . 4 = (cgrG‘𝐺)
14 tglngval.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑃)
1514adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
16 tglngval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
1716adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
18 tgcolg.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑃)
1918adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
20 lnxfr.2 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2120adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
22 simpr 475 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
231, 12, 3, 13, 5, 15, 17, 19, 7, 11, 9, 21, 22tgbtwnxfr 25138 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
241, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 23btwncolg1 25163 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
254adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
266adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐴𝑃)
278adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐶𝑃)
2810adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐵𝑃)
2916adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
3014adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
3118adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
3220adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
331, 12, 3, 13, 25, 30, 29, 31, 26, 28, 27, 32cgr3swap12 25131 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩)
34 simpr 475 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
351, 12, 3, 13, 25, 29, 30, 31, 28, 26, 27, 33, 34tgbtwnxfr 25138 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
361, 2, 3, 25, 26, 27, 28, 35btwncolg2 25164 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
374adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
386adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
398adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐶𝑃)
4010adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐵𝑃)
4114adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
4218adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
4316adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
4420adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
451, 12, 3, 13, 37, 41, 43, 42, 38, 40, 39, 44cgr3swap23 25132 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩)
46 simpr 475 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
471, 12, 3, 13, 37, 41, 42, 43, 38, 39, 40, 45, 46tgbtwnxfr 25138 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
481, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 47btwncolg3 25165 . 2 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
49 lnxfr.1 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
501, 2, 3, 4, 14, 18, 16tgcolg 25162 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))))
5149, 50mpbid 220 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
5224, 36, 48, 51mpjao3dan 1386 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381  wa 382  w3o 1029   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4572  cfv 5785  (class class class)co 6522  ⟨“cs3 13379  Basecbs 15636  distcds 15718  TarskiGcstrkg 25041  Itvcitv 25047  LineGclng 25048  cgrGccgrg 25118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-pm 7719  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-card 8620  df-cda 8845  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-hash 12930  df-word 13095  df-concat 13097  df-s1 13098  df-s2 13385  df-s3 13386  df-trkgc 25059  df-trkgb 25060  df-trkgcb 25061  df-trkg 25064  df-cgrg 25119
This theorem is referenced by:  symquadlem  25297  midexlem  25300  trgcopy  25409
  Copyright terms: Public domain W3C validator