MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1add 14971
Description: The sum of two eventually upper bounded functions is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
o1add2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
lo1add.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1add.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
lo1add (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lo1add
Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1add.3 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2 lo1add.4 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
3 reeanv 3365 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)))
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3179 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 6089 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
8 lo1dm 14864 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
107, 9eqsstrrd 4003 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12 rexanre 14694 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛))))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛))))
14 readdcl 10608 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℝ)
1514adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℝ)
164, 1lo1mptrcl 14966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
18 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
1918, 2lo1mptrcl 14966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
2019adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
21 simplrl 773 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
22 simplrr 774 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
23 le2add 11110 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((𝐵𝑚𝐶𝑛) → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛)))
2417, 20, 21, 22, 23syl22anc 834 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑚𝐶𝑛) → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛)))
2524imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) → (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
2625ralimdva 3174 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) → ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
27 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑚 + 𝑛) → ((𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝 ↔ (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛)))
2827imbi2d 342 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑚 + 𝑛) → ((𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
2928ralbidv 3194 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑚 + 𝑛) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
3029rspcev 3620 . . . . . . . 8 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝))
3115, 26, 30syl6an 680 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
3231reximdv 3270 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
3313, 32sylbird 261 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
3433rexlimdvva 3291 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
353, 34syl5bir 244 . . 3 (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
3610, 16ello1mpt 14866 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚)))
37 rexcom 3352 . . . . 5 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚))
3836, 37syl6bb 288 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚)))
3910, 19ello1mpt 14866 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)))
40 rexcom 3352 . . . . 5 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛))
4139, 40syl6bb 288 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)))
4238, 41anbi12d 630 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛))))
4316, 19readdcld 10658 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4410, 43ello1mpt 14866 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
4535, 42, 443imtr4d 295 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1)))
461, 2, 45mp2and 695 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  (class class class)co 7145  cr 10524   + caddc 10528  cle 10664  ≤𝑂(1)clo1 14832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ico 12732  df-lo1 14836
This theorem is referenced by:  lo1sub  14975  pntrlog2bndlem4  26083  pntrlog2bndlem5  26084  pntrlog2bndlem6  26086
  Copyright terms: Public domain W3C validator