MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1bdd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1bdd2 14869
Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval 𝐴 ∩ (-∞, 𝑦) by a function 𝑀(𝑦), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
lo1bdd2.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lo1bdd2.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
lo1bdd2.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1bdd2.5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
lo1bdd2.6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵𝑀)
Assertion
Ref Expression
lo1bdd2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑚)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem lo1bdd2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2 lo1bdd2.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 lo1bdd2.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 lo1bdd2.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4ello1mpt2 14867 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛)))
61, 5mpbid 233 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))
7 elicopnf 12821 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)))
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)))
98biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦))
10 lo1bdd2.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
119, 10syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
1211ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) ∧ 𝑛𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
13 simplrl 773 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) ∧ ¬ 𝑛𝑀) → 𝑛 ∈ ℝ)
1412, 13ifclda 4497 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) → if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ)
152ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
1615sselda 3964 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
179simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1817ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
1916, 18ltnled 10775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
20 lo1bdd2.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵𝑀)
2120expr 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀))
2221an32s 648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀))
239, 22syldanl 601 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀))
2423adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀))
25 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
2611ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
27 max2 12568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
2825, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑀 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
293ad4ant14 748 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3011ad5ant12 752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
31 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝑛𝑀) → 𝑛 ∈ ℝ)
3230, 31ifclda 4497 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ)
33 letr 10722 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑀𝑀 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
3429, 26, 32, 33syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑀𝑀 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
3528, 34mpan2d 690 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑀𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
3624, 35syld 47 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
3719, 36sylbird 261 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝑦𝑥𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
38 max1 12566 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
3925, 26, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
40 letr 10722 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4129, 25, 32, 40syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4239, 41mpan2d 690 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑛𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4337, 42jad 188 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦𝑥𝐵𝑛) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4443ralimdva 3174 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4544impr 455 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
46 brralrspcev 5117 . . . . . 6 ((if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚)
4714, 45, 46syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚)
4847expr 457 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚))
4948rexlimdva 3281 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚))
5049rexlimdva 3281 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚))
516, 50mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  (class class class)co 7145  cr 10524  +∞cpnf 10660   < clt 10663  cle 10664  [,)cico 12728  ≤𝑂(1)clo1 14832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ico 12732  df-lo1 14836
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14870  o1bdd2  14886
  Copyright terms: Public domain W3C validator