MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1bddrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1bddrp 14193
Description: Refine o1bdd2 14209 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
lo1bdd2.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lo1bdd2.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
lo1bdd2.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1bdd2.5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
lo1bdd2.6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵𝑀)
Assertion
Ref Expression
lo1bddrp (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑚)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem lo1bddrp
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 lo1bdd2.2 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 lo1bdd2.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 lo1bdd2.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
5 lo1bdd2.5 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
6 lo1bdd2.6 . . 3 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵𝑀)
71, 2, 3, 4, 5, 6lo1bdd2 14192 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑛)
8 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℝ)
98recnd 10015 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℂ)
109abscld 14112 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
119absge0d 14120 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑛))
1210, 11ge0p1rpd 11849 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
13 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
1410adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
15 peano2re 10156 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑛) ∈ ℝ → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
1713leabsd 14090 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ (abs‘𝑛))
1814lep1d 10902 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝑛) ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
1913, 14, 16, 17, 18letrd 10141 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
203adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
21 letr 10078 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
2220, 13, 16, 21syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
2319, 22mpan2d 709 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑛𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
2423ralimdva 2956 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑛 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
25 breq2 4619 . . . . . 6 (𝑚 = ((abs‘𝑛) + 1) → (𝐵𝑚𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
2625ralbidv 2980 . . . . 5 (𝑚 = ((abs‘𝑛) + 1) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑚 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
2726rspcev 3295 . . . 4 ((((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚)
2812, 24, 27syl6an 567 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚))
2928rexlimdva 3024 . 2 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚))
307, 29mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  wss 3556   class class class wbr 4615  cmpt 4675  cfv 5849  (class class class)co 6607  cr 9882  1c1 9884   + caddc 9886   < clt 10021  cle 10022  +crp 11779  abscabs 13911  ≤𝑂(1)clo1 14155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-ico 12126  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-lo1 14159
This theorem is referenced by:  o1bddrp  14210  chpo1ubb  25077  pntrlog2bnd  25180
  Copyright terms: Public domain W3C validator