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Theorem lo1mul 14287
Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
o1add2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
lo1add.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1add.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
lo1mul.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lo1mul (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lo1mul
Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1add.3 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2 lo1add.4 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
3 reeanv 3102 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)))
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 2965 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 5594 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
8 lo1dm 14179 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
107, 9eqsstr3d 3624 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12 rexanre 14015 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛))))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛))))
14 simprl 793 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℝ)
15 simprr 795 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑛 ∈ ℝ)
16 0re 9985 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
17 ifcl 4107 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ)
1815, 16, 17sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ)
1914, 18remulcld 10015 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) ∈ ℝ)
20 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
21 max2 11960 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))
2216, 20, 21sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))
23 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
2423, 2lo1mptrcl 14281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
2524adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
2620, 16, 17sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ)
27 letr 10076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ) → ((𝐶𝑛𝑛 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))
2825, 20, 26, 27syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐶𝑛𝑛 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))
2922, 28mpan2d 709 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐶𝑛𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))
304, 1lo1mptrcl 14281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3130adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32 lo1mul.5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
3332adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
3431, 33jca 554 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
35 simplrl 799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
36 max1 11958 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))
3716, 20, 36sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))
3826, 37jca 554 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))
39 lemul12b 10825 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))) → ((𝐵𝑚𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))))
4034, 35, 25, 38, 39syl22anc 1324 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑚𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))))
4129, 40sylan2d 499 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑚𝐶𝑛) → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))))
4241imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) → (𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))))
4342ralimdva 2961 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) → ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))))
44 breq2 4622 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → ((𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝 ↔ (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))))
4544imbi2d 330 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → ((𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))))
4645ralbidv 2985 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))))
4746rspcev 3300 . . . . . . . 8 (((𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝))
4819, 43, 47syl6an 567 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
4948reximdv 3015 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
5013, 49sylbird 250 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
5150rexlimdvva 3036 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
523, 51syl5bir 233 . . 3 (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
5310, 30ello1mpt 14181 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚)))
54 rexcom 3096 . . . . 5 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚))
5553, 54syl6bb 276 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚)))
5610, 24ello1mpt 14181 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)))
57 rexcom 3096 . . . . 5 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛))
5856, 57syl6bb 276 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)))
5955, 58anbi12d 746 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛))))
6030, 24remulcld 10015 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
6110, 60ello1mpt 14181 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
6252, 59, 613imtr4d 283 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1)))
631, 2, 62mp2and 714 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  wss 3560  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881   · cmul 9886  cle 10020  ≤𝑂(1)clo1 14147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-ico 12120  df-lo1 14151
This theorem is referenced by:  lo1mul2  14288  pntrlog2bndlem4  25164  pntrlog2bndlem5  25165
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