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Theorem log2cnv 24385
Description: Using the Taylor series for arctan(i / 3), produce a rapidly convergent series for log2. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
log2cnv.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
log2cnv seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)

Proof of Theorem log2cnv
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11551 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11219 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
3 2cn 10935 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 ax-icn 9848 . . . . . 6 i ∈ ℂ
5 ine0 10313 . . . . . 6 i ≠ 0
63, 4, 5divcli 10613 . . . . 5 (2 / i) ∈ ℂ
76a1i 11 . . . 4 (⊤ → (2 / i) ∈ ℂ)
8 3cn 10939 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
9 3ne0 10959 . . . . . . 7 3 ≠ 0
104, 8, 9divcli 10613 . . . . . 6 (i / 3) ∈ ℂ
11 absdiv 13826 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3)))
124, 8, 9, 11mp3an 1415 . . . . . . . 8 (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3))
13 absi 13817 . . . . . . . . 9 (abs‘i) = 1
14 3re 10938 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
15 0re 9893 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
16 3pos 10958 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
1715, 14, 16ltleii 10008 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 3
18 absid 13827 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
1914, 17, 18mp2an 703 . . . . . . . . 9 (abs‘3) = 3
2013, 19oveq12i 6536 . . . . . . . 8 ((abs‘i) / (abs‘3)) = (1 / 3)
2112, 20eqtri 2628 . . . . . . 7 (abs‘(i / 3)) = (1 / 3)
22 1lt3 11040 . . . . . . . 8 1 < 3
23 recgt1 10765 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
2414, 16, 23mp2an 703 . . . . . . . 8 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
2522, 24mpbi 218 . . . . . . 7 (1 / 3) < 1
2621, 25eqbrtri 4595 . . . . . 6 (abs‘(i / 3)) < 1
27 eqid 2606 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
2827atantayl3 24380 . . . . . 6 (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
2910, 26, 28mp2an 703 . . . . 5 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3))
3029a1i 11 . . . 4 (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
31 oveq2 6532 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (-1↑𝑛) = (-1↑𝑘))
32 oveq2 6532 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
3332oveq1d 6539 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
3433oveq2d 6540 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)))
3534, 33oveq12d 6542 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
3631, 35oveq12d 6542 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
37 ovex 6552 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ V
3836, 27, 37fvmpt 6173 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
394a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → i ∈ ℂ)
408a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
419a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ≠ 0)
42 2nn0 11153 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
43 nn0mulcl 11173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
4442, 43mpan 701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45 peano2nn0 11177 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
4739, 40, 41, 46expdivd 12836 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
4847oveq2d 6540 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
49 neg1cn 10968 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
50 expcl 12692 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
5149, 50mpan 701 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
52 expcl 12692 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
534, 46, 52sylancr 693 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
54 3nn 11030 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ
55 nnexpcl 12687 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
5654, 46, 55sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
5756nncnd 10880 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
5856nnne0d 10909 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
5951, 53, 57, 58divassd 10682 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
60 expp1 12681 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
614, 44, 60sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
62 expmul 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
634, 42, 62mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
64 i2 12779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i↑2) = -1
6564oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i↑2)↑𝑘) = (-1↑𝑘)
6663, 65syl6eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = (-1↑𝑘))
6766oveq1d 6539 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i↑(2 · 𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · i))
6861, 67eqtrd 2640 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · i))
6968oveq2d 6540 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
7051, 51, 39mulassd 9916 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
7149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)
7371, 72, 72expaddd 12824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)))
74 expmul 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
7549, 42, 74mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
76 neg1sqe1 12773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1↑2) = 1
7776oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-1↑2)↑𝑘) = (1↑𝑘)
7875, 77syl6eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (1↑𝑘))
79 nn0cn 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
80792timesd 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
8180oveq2d 6540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (-1↑(𝑘 + 𝑘)))
82 nn0z 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
83 1exp 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1↑𝑘) = 1)
8578, 81, 843eqtr3d 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = 1)
8673, 85eqtr3d 2642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) = 1)
8786oveq1d 6539 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = (1 · i))
884mulid2i 9896 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · i) = i
8987, 88syl6eq 2656 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = i)
9069, 70, 893eqtr2d 2646 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = i)
9190oveq1d 6539 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
9248, 59, 913eqtr2d 2646 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
9392oveq1d 6539 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
94 expcl 12692 . . . . . . . . . 10 (((i / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
9510, 46, 94sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
96 nn0p1nn 11176 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
9744, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
9897nncnd 10880 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
9997nnne0d 10909 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
10051, 95, 98, 99divassd 10682 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
10139, 57, 98, 58, 99divdiv1d 10678 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
10293, 100, 1013eqtr3d 2648 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
10357, 98mulcomd 9914 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
104103oveq2d 6540 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
10538, 102, 1043eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
10697, 56nnmulcld 10912 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℕ)
107106nncnd 10880 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
108106nnne0d 10909 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ≠ 0)
10939, 107, 108divcld 10647 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
110105, 109eqeltrd 2684 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
111110adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
11233oveq2d 6540 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑘) + 1)))
113 oveq2 6532 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (9↑𝑛) = (9↑𝑘))
114112, 113oveq12d 6542 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
115114oveq2d 6540 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
116 log2cnv.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
117 ovex 6552 . . . . . . 7 (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ V
118115, 116, 117fvmpt 6173 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
119 expp1 12681 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
1208, 44, 119sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
121 expmul 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
1228, 42, 121mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
123 sq3 12775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3↑2) = 9
124123oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3↑2)↑𝑘) = (9↑𝑘)
125122, 124syl6eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = (9↑𝑘))
126125oveq1d 6539 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑(2 · 𝑘)) · 3) = ((9↑𝑘) · 3))
127 9nn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 9 ∈ ℕ
128 nnexpcl 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
129127, 128mpan 701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
130129nncnd 10880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℂ)
131 mulcom 9875 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((9↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
132130, 8, 131sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
133120, 126, 1323eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = (3 · (9↑𝑘)))
13490, 133oveq12d 6542 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
13548, 59, 1343eqtr2d 2646 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
136135oveq1d 6539 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
137 nnmulcl 10887 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℕ ∧ (9↑𝑘) ∈ ℕ) → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
13854, 129, 137sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
139138nncnd 10880 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
140138nnne0d 10909 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ≠ 0)
14139, 139, 98, 140, 99divdiv1d 10678 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
142136, 100, 1413eqtr3d 2648 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
14340, 130, 98mul32d 10094 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
144143oveq2d 6540 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
14538, 142, 1443eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
146145oveq2d 6540 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
147 nnmulcl 10887 . . . . . . . . . . . 12 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
14854, 97, 147sylancr 693 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
149148, 129nnmulcld 10912 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
150149nncnd 10880 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
151149nnne0d 10909 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ≠ 0)
15239, 150, 151divcld 10647 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ)
153 mulcom 9875 . . . . . . . 8 (((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ ∧ (2 / i) ∈ ℂ) → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
154152, 6, 153sylancl 692 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
1553a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
1565a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → i ≠ 0)
157155, 39, 150, 156, 151dmdcand 10676 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
158146, 154, 1573eqtr2d 2646 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
159118, 158eqtr4d 2643 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
160159adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
1611, 2, 7, 30, 111, 160isermulc2 14179 . . 3 (⊤ → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))))
162161trud 1483 . 2 seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3)))
163 bndatandm 24370 . . . . . . . 8 (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → (i / 3) ∈ dom arctan)
16410, 26, 163mp2an 703 . . . . . . 7 (i / 3) ∈ dom arctan
165 atanval 24325 . . . . . . 7 ((i / 3) ∈ dom arctan → (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))))
166164, 165ax-mp 5 . . . . . 6 (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))))
167 df-4 10925 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (3 + 1)
168167oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . 12 (4 / 3) = ((3 + 1) / 3)
169 ax-1cn 9847 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
1708, 169, 8, 9divdiri 10628 . . . . . . . . . . . 12 ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
1718, 9dividi 10604 . . . . . . . . . . . . 13 (3 / 3) = 1
172171oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
173168, 170, 1723eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
174169, 8, 9divcli 10613 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℂ
175169, 174subnegi 10208 . . . . . . . . . . 11 (1 − -(1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
176 divneg 10565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → -(1 / 3) = (-1 / 3))
177169, 8, 9, 176mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . 13 -(1 / 3) = (-1 / 3)
178 ixi 10502 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · i) = -1
179178oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · i) / 3) = (-1 / 3)
1804, 4, 8, 9divassi 10627 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · i) / 3) = (i · (i / 3))
181177, 179, 1803eqtr2i 2634 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 3) = (i · (i / 3))
182181oveq2i 6535 . . . . . . . . . . 11 (1 − -(1 / 3)) = (1 − (i · (i / 3)))
183173, 175, 1823eqtr2ri 2635 . . . . . . . . . 10 (1 − (i · (i / 3))) = (4 / 3)
184183fveq2i 6088 . . . . . . . . 9 (log‘(1 − (i · (i / 3)))) = (log‘(4 / 3))
1858, 9pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
186 divsubdir 10567 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
1878, 169, 185, 186mp3an 1415 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
188 3m1e2 10981 . . . . . . . . . . . . 13 (3 − 1) = 2
189188oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
190171oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
191187, 189, 1903eqtr3i 2636 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) = (1 − (1 / 3))
192169, 174negsubi 10207 . . . . . . . . . . 11 (1 + -(1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
193181oveq2i 6535 . . . . . . . . . . 11 (1 + -(1 / 3)) = (1 + (i · (i / 3)))
194191, 192, 1933eqtr2ri 2635 . . . . . . . . . 10 (1 + (i · (i / 3))) = (2 / 3)
195194fveq2i 6088 . . . . . . . . 9 (log‘(1 + (i · (i / 3)))) = (log‘(2 / 3))
196184, 195oveq12i 6536 . . . . . . . 8 ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
197 4re 10941 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
198 4pos 10960 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
199197, 198elrpii 11664 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
20014, 16elrpii 11664 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ+
201 rpdivcl 11685 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (4 / 3) ∈ ℝ+)
202199, 200, 201mp2an 703 . . . . . . . . 9 (4 / 3) ∈ ℝ+
203 2rp 11666 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
204 rpdivcl 11685 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (2 / 3) ∈ ℝ+)
205203, 200, 204mp2an 703 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℝ+
206 relogdiv 24057 . . . . . . . . 9 (((4 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (2 / 3) ∈ ℝ+) → (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3))))
207202, 205, 206mp2an 703 . . . . . . . 8 (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
208 4cn 10942 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
209 2cnne0 11086 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
210 divcan7 10580 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2))
211208, 209, 185, 210mp3an 1415 . . . . . . . . . 10 ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2)
212 4d2e2 11028 . . . . . . . . . 10 (4 / 2) = 2
213211, 212eqtri 2628 . . . . . . . . 9 ((4 / 3) / (2 / 3)) = 2
214213fveq2i 6088 . . . . . . . 8 (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = (log‘2)
215196, 207, 2143eqtr2i 2634 . . . . . . 7 ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = (log‘2)
216215oveq2i 6535 . . . . . 6 ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))) = ((i / 2) · (log‘2))
217166, 216eqtri 2628 . . . . 5 (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · (log‘2))
218217oveq2i 6535 . . . 4 ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
219 2ne0 10957 . . . . . 6 2 ≠ 0
2204, 3, 219divcli 10613 . . . . 5 (i / 2) ∈ ℂ
221 logcl 24033 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (log‘2) ∈ ℂ)
2223, 219, 221mp2an 703 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℂ
2236, 220, 222mulassi 9902 . . . 4 (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
224218, 223eqtr4i 2631 . . 3 ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2))
225 divcan6 10578 . . . . 5 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((2 / i) · (i / 2)) = 1)
2263, 219, 4, 5, 225mp4an 704 . . . 4 ((2 / i) · (i / 2)) = 1
227226oveq1i 6534 . . 3 (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = (1 · (log‘2))
228222mulid2i 9896 . . 3 (1 · (log‘2)) = (log‘2)
229224, 227, 2283eqtri 2632 . 2 ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (log‘2)
230162, 229breqtri 4599 1 seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  wne 2776   class class class wbr 4574  cmpt 4634  dom cdm 5025  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790  ici 9791   + caddc 9792   · cmul 9794   < clt 9927  cle 9928  cmin 10114  -cneg 10115   / cdiv 10530  cn 10864  2c2 10914  3c3 10915  4c4 10916  9c9 10921  0cn0 11136  cz 11207  +crp 11661  seqcseq 12615  cexp 12674  abscabs 13765  cli 14006  logclog 24019  arctancatan 24305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ioc 12004  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-mod 12483  df-seq 12616  df-exp 12675  df-fac 12875  df-bc 12904  df-hash 12932  df-shft 13598  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-limsup 13993  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-ef 14580  df-sin 14582  df-cos 14583  df-tan 14584  df-pi 14585  df-dvds 14765  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-mulg 17307  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-nei 20651  df-lp 20689  df-perf 20690  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-haus 20868  df-cmp 20939  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-cncf 22417  df-limc 23350  df-dv 23351  df-ulm 23849  df-log 24021  df-atan 24308
This theorem is referenced by:  log2tlbnd  24386
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