Theorem log2le1 25520

Description: log2 is less than 1. This is just a weaker form of log2ub 25519 when no tight upper bound is required. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
log2le1	⊢ (log‘2) < 1

Proof of Theorem log2le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		log2ub 25519	. 2 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)
2		2nn0 11906	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		3nn0 11907	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		5nn0 11909	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		6nn0 11910	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
6		2lt3 11801	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
7		5lt10 12225	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
8		3lt10 12227	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
9	2, 3, 4, 5, 3, 4, 6, 7, 8	3decltc 12123	. . . 4 ⊢ ;;253 < ;;365
10	2, 4	deccl 12105	. . . . . . 7 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
11	10, 3	deccl 12105	. . . . . 6 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
12	11	nn0rei 11900	. . . . 5 ⊢ ;;253 ∈ ℝ
13	3, 5	deccl 12105	. . . . . . 7 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
14	13, 4	deccl 12105	. . . . . 6 ⊢ ;;365 ∈ ℕ0
15	14	nn0rei 11900	. . . . 5 ⊢ ;;365 ∈ ℝ
16		6nn 11718	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
17	3, 16	decnncl 12110	. . . . . 6 ⊢ ;36 ∈ ℕ
18		0nn0 11904	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19		10pos 12107	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
20	17, 4, 18, 19	declti 12128	. . . . 5 ⊢ 0 < ;;365
21	12, 15, 15, 20	ltdiv1ii 11561	. . . 4 ⊢ (;;253 < ;;365 ↔ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365))
22	9, 21	mpbi 232	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365)
23	15	recni 10647	. . . 4 ⊢ ;;365 ∈ ℂ
24		0re 10635	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	24, 20	gtneii 10744	. . . 4 ⊢ ;;365 ≠ 0
26	23, 25	dividi 11365	. . 3 ⊢ (;;365 / ;;365) = 1
27	22, 26	breqtri 5082	. 2 ⊢ (;;253 / ;;365) < 1
28		2rp 12386	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
29		relogcl 25151	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
31	12, 15, 25	redivcli 11399	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) ∈ ℝ
32		1re 10633	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
33	30, 31, 32	lttri 10758	. 2 ⊢ (((log‘2) < (;;253 / ;;365) ∧ (;;253 / ;;365) < 1) → (log‘2) < 1)
34	1, 27, 33	mp2an 690	1 ⊢ (log‘2) < 1

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   < clt 10667   / cdiv 11289  2c2 11684  3c3 11685  5c5 11687  6c6 11688  ;cdc 12090  ℝ⁺crp 12381  logclog 25130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-tan 15417  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-cmp 21987  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-limc 24456  df-dv 24457  df-ulm 24957  df-log 25132  df-atan 25437

This theorem is referenced by:  emgt0  25576  hgt750lemd  31912