Theorem logblog 24244

Description: The general logarithm to the base being Euler's constant regarded as function is the natural logarithm. (Contributed by AV, 12-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
logblog	⊢ (curry logb ‘e) = log

Proof of Theorem logblog

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		loge 24051	. . . . . 6 ⊢ (log‘e) = 1
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘e) = 1)
3	2	oveq2d 6540	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((log‘𝑦) / (log‘e)) = ((log‘𝑦) / 1))
4		eldifsn 4256	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
5		logcl 24033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylbi 205	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
7	6	div1d 10639	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((log‘𝑦) / 1) = (log‘𝑦))
8	3, 7	eqtrd 2640	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((log‘𝑦) / (log‘e)) = (log‘𝑦))
9	8	mpteq2ia 4659	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑦) / (log‘e))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (log‘𝑦))
10		ere 14601	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ
11	10	recni 9905	. . 3 ⊢ e ∈ ℂ
12		epr 14718	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ+
13		rpne0 11677	. . . 4 ⊢ (e ∈ ℝ+ → e ≠ 0)
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ e ≠ 0
15		egt2lt3 14716	. . . 4 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
16		1re 9892	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		2re 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	16, 17, 10	3pm3.2i 1231	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ)
19		1lt2 11038	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
20		lttr 9962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e))
21	20	expd 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → (1 < 2 → (2 < e → 1 < e)))
22	18, 19, 21	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ (2 < e → 1 < e)
23	22	olcd 406	. . . . . 6 ⊢ (2 < e → (e < 1 ∨ 1 < e))
24	10, 16	pm3.2i 469	. . . . . . 7 ⊢ (e ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
25		lttri2 9968	. . . . . . 7 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (e ≠ 1 ↔ (e < 1 ∨ 1 < e)))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (2 < e → (e ≠ 1 ↔ (e < 1 ∨ 1 < e)))
27	23, 26	mpbird 245	. . . . 5 ⊢ (2 < e → e ≠ 1)
28	27	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((2 < e ∧ e < 3) → e ≠ 1)
29	15, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ e ≠ 1
30		logbmpt 24240	. . 3 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0 ∧ e ≠ 1) → (curry logb ‘e) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑦) / (log‘e))))
31	11, 14, 29, 30	mp3an 1415	. 2 ⊢ (curry logb ‘e) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑦) / (log‘e)))
32		logf1o 24029	. . . 4 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
33		f1ofn 6033	. . . 4 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log Fn (ℂ ∖ {0}))
34	32, 33	ax-mp 5	. . 3 ⊢ log Fn (ℂ ∖ {0})
35		dffn5 6133	. . 3 ⊢ (log Fn (ℂ ∖ {0}) ↔ log = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (log‘𝑦)))
36	34, 35	mpbi 218	. 2 ⊢ log = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (log‘𝑦))
37	9, 31, 36	3eqtr4i 2638	1 ⊢ (curry logb ‘e) = log

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∨ wo 381   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   ≠ wne 2776   ∖ cdif 3533  {csn 4121   class class class wbr 4574   ↦ cmpt 4634  ran crn 5026   Fn wfn 5782  –1-1-onto→wf1o 5786  ‘cfv 5787  (class class class)co 6524  curry ccur 7252  ℂcc 9787  ℝcr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   < clt 9927   / cdiv 10530  2c2 10914  3c3 10915  ℝ⁺crp 11661  eceu 14575  logclog 24019   log_b clogb 24216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-cur 7254  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ioc 12004  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-mod 12483  df-seq 12616  df-exp 12675  df-fac 12875  df-bc 12904  df-hash 12932  df-shft 13598  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-limsup 13993  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-ef 14580  df-e 14581  df-sin 14582  df-cos 14583  df-pi 14585  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-mulg 17307  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-nei 20651  df-lp 20689  df-perf 20690  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-haus 20868  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-cncf 22417  df-limc 23350  df-dv 23351  df-log 24021  df-logb 24217

This theorem is referenced by: (None)