MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcn 24288
Description: The logarithm function is continuous away from the branch cut at negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logcn (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)

Proof of Theorem logcn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 24210 . . . . . . 7 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2 f1of 6096 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
4 logcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
54logdmss 24283 . . . . . 6 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6 fssres 6029 . . . . . 6 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
73, 5, 6mp2an 707 . . . . 5 (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
8 ffn 6004 . . . . 5 ((log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log → (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷
10 dffn5 6199 . . . 4 ((log ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ↔ (log ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
119, 10mpbi 220 . . 3 (log ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥))
12 fvres 6165 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
134ellogdm 24280 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
1413simplbi 476 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
154logdmn0 24281 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
1614, 15logcld 24216 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
1716replimd 13866 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) = ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
18 relog 24242 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
1914, 15, 18syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
2014, 15absrpcld 14116 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (abs‘𝑥) ∈ ℝ+)
21 fvres 6165 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑥) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
2319, 22eqtr4d 2663 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)))
2423oveq1d 6620 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
2512, 17, 243eqtrd 2664 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
2625mpteq2ia 4705 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
2711, 26eqtri 2648 . 2 (log ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
28 eqid 2626 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2928addcn 22571 . . . . 5 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3029a1i 11 . . . 4 (⊤ → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3128cnfldtopon 22491 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3214ssriv 3592 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ℂ
33 resttopon 20870 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
3431, 32, 33mp2an 707 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
3534a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
36 absf 14006 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
37 fssres 6029 . . . . . . . . . . . 12 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
3836, 32, 37mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
4039feqmptd 6207 . . . . . . . . 9 (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)))
41 fvres 6165 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
4241mpteq2ia 4705 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ (abs‘𝑥))
4340, 42syl6eq 2676 . . . . . . . 8 (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (abs‘𝑥)))
44 ffn 6004 . . . . . . . . . . 11 ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ → (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
4538, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷
4641, 20eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+)
4746rgen 2922 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+
48 ffnfv 6344 . . . . . . . . . 10 ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+ ↔ ((abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ∧ ∀𝑥𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+))
4945, 47, 48mpbir2an 954 . . . . . . . . 9 (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+
50 rpssre 11787 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℝ
51 ax-resscn 9938 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
5250, 51sstri 3597 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℂ
53 abscncf 22607 . . . . . . . . . . 11 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
54 rescncf 22603 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ⊆ ℂ → (abs ∈ (ℂ–cn→ℝ) → (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℝ)))
5532, 53, 54mp2 9 . . . . . . . . . 10 (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℝ)
56 cncffvrn 22604 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℝ)) → ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+))
5752, 55, 56mp2an 707 . . . . . . . . 9 ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+)
5849, 57mpbir 221 . . . . . . . 8 (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℝ+)
5943, 58syl6eqelr 2713 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (𝐷cn→ℝ+))
60 eqid 2626 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷)
61 eqid 2626 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)
6228, 60, 61cncfcn 22615 . . . . . . . 8 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐷cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)))
6332, 52, 62mp2an 707 . . . . . . 7 (𝐷cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+))
6459, 63syl6eleq 2714 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)))
65 ssid 3608 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
66 cncfss 22605 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ))
6751, 65, 66mp2an 707 . . . . . . . . 9 (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ)
68 relogcn 24279 . . . . . . . . 9 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℝ)
6967, 68sselii 3585 . . . . . . . 8 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℂ)
7069a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
7128cnfldtop 22492 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
7231toponunii 20642 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
7372restid 16010 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
7471, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
7574eqcomi 2635 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
7628, 61, 75cncfcn 22615 . . . . . . . 8 ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
7752, 65, 76mp2an 707 . . . . . . 7 (ℝ+cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn (TopOpen‘ℂfld))
7870, 77syl6eleq 2714 . . . . . 6 (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
7935, 64, 78cnmpt11f 21372 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8028, 60, 75cncfcn 22615 . . . . . 6 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8132, 65, 80mp2an 707 . . . . 5 (𝐷cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld))
8279, 81syl6eleqr 2715 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (𝐷cn→ℂ))
8316imcld 13864 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
8483recnd 10013 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
8584adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
86 eqidd 2627 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))))
87 eqidd 2627 . . . . . 6 (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)))
88 oveq2 6613 . . . . . 6 (𝑦 = (ℑ‘(log‘𝑥)) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))
8985, 86, 87, 88fmptco 6352 . . . . 5 (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
90 cncfss 22605 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷cn→ℝ) ⊆ (𝐷cn→ℂ))
9151, 65, 90mp2an 707 . . . . . . . 8 (𝐷cn→ℝ) ⊆ (𝐷cn→ℂ)
924logcnlem5 24287 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷cn→ℝ)
9391, 92sselii 3585 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷cn→ℂ)
9493a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷cn→ℂ))
95 ax-icn 9940 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
96 eqid 2626 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦))
9796mulc1cncf 22611 . . . . . . 7 (i ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9895, 97mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9994, 98cncfco 22613 . . . . 5 (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷cn→ℂ))
10089, 99eqeltrrd 2705 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷cn→ℂ))
10128, 30, 82, 100cncfmpt2f 22620 . . 3 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷cn→ℂ))
102101trud 1490 . 2 (𝑥𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷cn→ℂ)
10327, 102eqeltri 2700 1 (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  cdif 3557  wss 3560  {csn 4153  cmpt 4678  ran crn 5080  cres 5081  ccom 5083   Fn wfn 5845  wf 5846  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  ici 9883   + caddc 9884   · cmul 9886  -∞cmnf 10017  +crp 11776  (,]cioc 12115  cre 13766  cim 13767  abscabs 13903  t crest 15997  TopOpenctopn 15998  fldccnfld 19660  Topctop 20612  TopOnctopon 20613   Cn ccn 20933   ×t ctx 21268  cnccncf 22582  logclog 24200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-ef 14718  df-sin 14720  df-cos 14721  df-tan 14722  df-pi 14723  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-cmp 21095  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532  df-log 24202
This theorem is referenced by:  dvlog  24292  efopnlem2  24298  dvcncxp1  24379  cxpcn  24381  lgamgulmlem2  24651  lgamcvg2  24676  areacirclem4  33121
  Copyright terms: Public domain W3C validator