Theorem logcnlem2 24289

Description: Lemma for logcn 24293. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s	⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t	⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
logcnlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
logcnlem2	⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logcnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcnlem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
2		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3		logcnlem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
4		logcn.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	ellogdm 24285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
6	5	simplbi 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	imcld 13869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10012	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
11		reim0b 13793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
13	5	simprbi 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
15	12, 14	sylbird 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
16	15	necon3bd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) ≠ 0))
17	16	imp 445	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
18	10, 17	absrpcld 14121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
19	2, 18	ifclda 4092	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
20	1, 19	syl5eqel 2702	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
21		logcnlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
22	4	logdmn0 24286	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)
23	3, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
24	7, 23	absrpcld 14121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
25		logcnlem.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
26		1rp 11780	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
27		rpaddcl 11798	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
28	26, 25, 27	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
29	25, 28	rpdivcld 11833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ+)
30	24, 29	rpmulcld 11832	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ+)
31	21, 30	syl5eqel 2702	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
32	20, 31	ifcld 4103	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∖ cdif 3552  ifcif 4058   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  -∞cmnf 10016   ≤ cle 10019   / cdiv 10628  ℝ⁺crp 11776  (,]cioc 12118  ℑcim 13772  abscabs 13908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ioc 12122  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910

This theorem is referenced by:  logcnlem5  24292