MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcnlem3 24290
Description: Lemma for logcn 24293. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a (𝜑𝐴𝐷)
logcnlem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b (𝜑𝐵𝐷)
logcnlem.l (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
Assertion
Ref Expression
logcnlem3 (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))

Proof of Theorem logcnlem3
StepHypRef Expression
1 pire 24114 . . . . . 6 π ∈ ℝ
21renegcli 10286 . . . . 5 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π ∈ ℝ)
4 logcnlem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐷)
5 logcn.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
65ellogdm 24285 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
76simplbi 476 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ∈ ℂ)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
95logdmn0 24286 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ≠ 0)
104, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ 0)
118, 10logcld 24221 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
1211imcld 13869 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
14 logcnlem.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
155ellogdm 24285 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
1615simplbi 476 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
185logdmn0 24286 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷𝐴 ≠ 0)
1914, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2017, 19logcld 24221 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
2120imcld 13869 . . . . . 6 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
2212, 21resubcld 10402 . . . . 5 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
2322adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
248, 10logimcld 24222 . . . . . 6 (𝜑 → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π))
2524simpld 475 . . . . 5 (𝜑 → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
2625adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
2712recnd 10012 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
2827adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
2928subid1d 10325 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
3021adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31 0red 9985 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
32 argimlt0 24263 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))
3317, 32sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))
34 eliooord 12175 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
3635simprd 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0)
3730, 31, 13, 36ltsub2dd 10584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
3829, 37eqbrtrrd 4637 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
393, 13, 23, 26, 38lttrd 10142 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
4025adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
41 reim0b 13793 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
4217, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
4315simprbi 480 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
4414, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
4542, 44sylbird 250 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
4645imp 445 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
4746relogcld 24273 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
4847reim0d 13899 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
4948oveq2d 6620 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0))
5027subid1d 10325 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
5150adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
5249, 51eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
5340, 52breqtrrd 4641 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
542a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
5521renegcld 10401 . . . . 5 (𝜑 → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
5655adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
5722adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
58 argimgt0 24262 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
5917, 58sylan 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
60 eliooord 12175 . . . . . . 7 ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
6159, 60syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
6261simprd 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
63 ltneg 10472 . . . . . . 7 (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
6421, 1, 63sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
6564adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
6662, 65mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
67 df-neg 10213 . . . . 5 -(ℑ‘(log‘𝐴)) = (0 − (ℑ‘(log‘𝐴)))
688adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6917, 8imsubd 13891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
7117, 8subcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
7271imcld 13869 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7471abscld 14109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7617adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7776imcld 13869 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
78 absimle 13983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
7971, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
8072, 74absled 14103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∧ (ℑ‘(𝐴𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))))
8179, 80mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (-(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∧ (ℑ‘(𝐴𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵))))
8281simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
8382adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
84 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
85 rpre 11783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
8685adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
8717imcld 13869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8887recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8988abscld 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
9186, 90ifclda 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
9284, 91syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
93 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
9417abscld 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
95 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
9695rpred 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
97 1rp 11780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ+
98 rpaddcl 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
9997, 95, 98sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
10096, 99rerpdivcld 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
10194, 100remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
10293, 101syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
10392, 102ifcld 4103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ)
104 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
105 min1 11963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ≤ 𝑆)
10692, 102, 105syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ≤ 𝑆)
10774, 103, 92, 104, 106ltletrd 10141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆)
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆)
109 gt0ne0 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
11087, 109sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
11185, 42syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) = 0))
112111necon3ad 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
113112imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)
114 iffalse 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐴 ∈ ℝ+ → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
11584, 114syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 ∈ ℝ+𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
116113, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
117110, 116syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
118 0re 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
119 ltle 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘𝐴) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴)))
120118, 87, 119sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0 < (ℑ‘𝐴) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴)))
121120imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴))
12277, 121absidd 14095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
123117, 122eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝑆 = (ℑ‘𝐴))
124108, 123breqtrd 4639 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
12573, 75, 77, 83, 124lelttrd 10139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
12670, 125eqbrtrrd 4637 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
12788adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
128127subid1d 10325 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
129126, 128breqtrrd 4641 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0))
130 0red 9985 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1318imcld 13869 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
132130, 131, 87ltsub2d 10581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 < (ℑ‘𝐵) ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0)))
133132adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘𝐵) ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0)))
134129, 133mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘𝐵))
135 argimgt0 24262 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π))
13668, 134, 135syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π))
137 eliooord 12175 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < π))
138136, 137syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < π))
139138simpld 475 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐵)))
140130, 12, 21ltsub1d 10580 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ↔ (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
141140adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ↔ (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
142139, 141mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
14367, 142syl5eqbr 4648 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
14454, 56, 57, 66, 143lttrd 10142 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
145 lttri4 10066 . . . 4 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) < 0 ∨ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℑ‘𝐴)))
14687, 118, 145sylancl 693 . . 3 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) < 0 ∨ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℑ‘𝐴)))
14739, 53, 144, 146mpjao3dan 1392 . 2 (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
1481a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → π ∈ ℝ)
14930renegcld 10401 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
1508adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
15188adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
152151subid1d 10325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
15387adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
15474renegcld 10401 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
155154adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
15672adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
15774adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
158107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆)
159118ltnri 10090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ¬ 0 < 0
160 breq1 4616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℑ‘𝐴) = 0 → ((ℑ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < 0))
161159, 160mtbiri 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℑ‘𝐴) = 0 → ¬ (ℑ‘𝐴) < 0)
162161necon2ai 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
163162, 116sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
164 ltle 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≤ 0))
16587, 118, 164sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≤ 0))
166165imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ≤ 0)
167153, 166absnidd 14086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
168163, 167eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝑆 = -(ℑ‘𝐴))
169158, 168breqtrd 4639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴𝐵)) < -(ℑ‘𝐴))
170157, 153, 169ltnegcon2d 10552 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < -(abs‘(𝐴𝐵)))
17181simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴𝐵)))
172171adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴𝐵)))
173153, 155, 156, 170, 172ltletrd 10141 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < (ℑ‘(𝐴𝐵)))
17469adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
175173, 174breqtrd 4639 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
176152, 175eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) − 0) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
177150imcld 13869 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
178177, 31, 153ltsub2d 10581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐵) < 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) − 0) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵))))
179176, 178mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐵) < 0)
180 argimlt0 24263 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0))
181150, 179, 180syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0))
182 eliooord 12175 . . . . . . . . 9 ((ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0))
183181, 182syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0))
184183simprd 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0)
18513, 31, 30, 184ltsub1dd 10583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))))
186185, 67syl6breqr 4655 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
18735simpld 475 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
188 ltnegcon1 10473 . . . . . . 7 ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
1891, 30, 188sylancr 694 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
190187, 189mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
19123, 149, 148, 186, 190lttrd 10142 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < π)
19223, 148, 191ltled 10129 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
19324simprd 479 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π)
194193adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π)
19552, 194eqbrtrd 4635 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
1961a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
19712adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
198 0red 9985 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
19921adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
20061simpld 475 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
201198, 199, 197, 200ltsub2dd 10584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0))
20227adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
203202subid1d 10325 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
204201, 203breqtrd 4639 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < (ℑ‘(log‘𝐵)))
205138simprd 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < π)
20657, 197, 196, 204, 205lttrd 10142 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < π)
20757, 196, 206ltled 10129 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
208192, 195, 207, 146mpjao3dan 1392 . 2 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
209147, 208jca 554 1 (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  -∞cmnf 10016   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  +crp 11776  (,)cioo 12117  (,]cioc 12118  cim 13772  abscabs 13908  πcpi 14722  logclog 24205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207
This theorem is referenced by:  logcnlem4  24291
  Copyright terms: Public domain W3C validator