Theorem logdmnrp 25216

Description: A number in the continuous domain of log is not a strictly negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmnrp	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logdmnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 4102	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
2		logcn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3	1, 2	eleq2s 2929	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
4		rpre 12389	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
5	2	ellogdm 25214	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
6	5	simplbi 500	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		negreb 10943	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
9	4, 8	syl5ib 246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (-𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ))
10	9	imp 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	mnfltd 12511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐴)
12		rpgt0 12393	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < -𝐴)
13	12	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 < -𝐴)
14	10	lt0neg1d 11201	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
15	13, 14	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 < 0)
16		0re 10635	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		ltle 10721	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
18	10, 16, 17	sylancl 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
19	15, 18	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 0)
20		mnfxr 10690	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
21		elioc2 12791	. . . 4 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0)))
22	20, 16, 21	mp2an 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0))
23	10, 11, 19, 22	syl3anbrc 1337	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
24	3, 23	mtand 814	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3931   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  -∞cmnf 10665  ℝ^*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668  -cneg 10863  ℝ⁺crp 12381  (,]cioc 12731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-rp 12382  df-ioc 12735

This theorem is referenced by:  dvloglem  25223  logf1o2  25225