Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logge0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logge0b 42214
Description: The logarithm of a number is nonnegative iff the number is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
logge0b (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (log‘𝐴) ↔ 1 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem logge0b
StepHypRef Expression
1 1rp 11574 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ+)
3 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+)
42, 3logled 24075 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
5 log1 24034 . . . 4 (log‘1) = 0
65a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘1) = 0)
76breq1d 4491 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘1) ≤ (log‘𝐴) ↔ 0 ≤ (log‘𝐴)))
84, 7bitr2d 267 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (log‘𝐴) ↔ 1 ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1938   class class class wbr 4481  cfv 5689  0cc0 9689  1c1 9690  cle 9828  +crp 11570  logclog 24003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-inf2 8295  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766  ax-pre-sup 9767  ax-addf 9768  ax-mulf 9769
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-of 6669  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-supp 7056  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-2o 7322  df-oadd 7325  df-er 7503  df-map 7620  df-pm 7621  df-ixp 7669  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-fsupp 8033  df-fi 8074  df-sup 8105  df-inf 8106  df-oi 8172  df-card 8522  df-cda 8747  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-div 10432  df-nn 10774  df-2 10832  df-3 10833  df-4 10834  df-5 10835  df-6 10836  df-7 10837  df-8 10838  df-9 10839  df-10OLD 10840  df-n0 11046  df-z 11117  df-dec 11232  df-uz 11424  df-q 11527  df-rp 11571  df-xneg 11684  df-xadd 11685  df-xmul 11686  df-ioo 11915  df-ioc 11916  df-ico 11917  df-icc 11918  df-fz 12062  df-fzo 12199  df-fl 12319  df-mod 12395  df-seq 12528  df-exp 12587  df-fac 12787  df-bc 12816  df-hash 12844  df-shft 13509  df-cj 13541  df-re 13542  df-im 13543  df-sqrt 13677  df-abs 13678  df-limsup 13905  df-clim 13928  df-rlim 13929  df-sum 14129  df-ef 14501  df-sin 14503  df-cos 14504  df-pi 14506  df-struct 15585  df-ndx 15586  df-slot 15587  df-base 15588  df-sets 15589  df-ress 15590  df-plusg 15669  df-mulr 15670  df-starv 15671  df-sca 15672  df-vsca 15673  df-ip 15674  df-tset 15675  df-ple 15676  df-ds 15679  df-unif 15680  df-hom 15681  df-cco 15682  df-rest 15794  df-topn 15795  df-0g 15813  df-gsum 15814  df-topgen 15815  df-pt 15816  df-prds 15819  df-xrs 15873  df-qtop 15879  df-imas 15880  df-xps 15883  df-mre 15965  df-mrc 15966  df-acs 15968  df-mgm 16961  df-sgrp 17003  df-mnd 17014  df-submnd 17055  df-mulg 17260  df-cntz 17469  df-cmn 17930  df-psmet 19467  df-xmet 19468  df-met 19469  df-bl 19470  df-mopn 19471  df-fbas 19472  df-fg 19473  df-cnfld 19476  df-top 20428  df-bases 20429  df-topon 20430  df-topsp 20431  df-cld 20540  df-ntr 20541  df-cls 20542  df-nei 20619  df-lp 20657  df-perf 20658  df-cn 20748  df-cnp 20749  df-haus 20836  df-tx 21082  df-hmeo 21275  df-fil 21367  df-fm 21459  df-flim 21460  df-flf 21461  df-xms 21841  df-ms 21842  df-tms 21843  df-cncf 22416  df-limc 23322  df-dv 23323  df-log 24005
This theorem is referenced by:  logbge0b  42246
  Copyright terms: Public domain W3C validator