Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logmul2 24356
 Description: Generalization of relogmul 24332 to a complex left argument. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
logmul2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐴 · 𝐵)) = ((log‘𝐴) + (log‘𝐵)))

Proof of Theorem logmul2
StepHypRef Expression
1 logcl 24309 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
213adant3 1080 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3 relogcl 24316 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
433ad2ant3 1083 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
54recnd 10065 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
6 efadd 14818 . . . . 5 (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) + (log‘𝐵))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐵))))
72, 5, 6syl2anc 693 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (exp‘((log‘𝐴) + (log‘𝐵))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐵))))
8 eflog 24317 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
983adant3 1080 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
10 reeflog 24321 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
11103ad2ant3 1083 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
129, 11oveq12d 6665 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐵))) = (𝐴 · 𝐵))
137, 12eqtrd 2655 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (exp‘((log‘𝐴) + (log‘𝐵))) = (𝐴 · 𝐵))
1413fveq2d 6193 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (log‘𝐵)))) = (log‘(𝐴 · 𝐵)))
15 logrncl 24308 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
16153adant3 1080 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
17 logrnaddcl 24315 . . . 4 (((log‘𝐴) ∈ ran log ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ) → ((log‘𝐴) + (log‘𝐵)) ∈ ran log)
1816, 4, 17syl2anc 693 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) + (log‘𝐵)) ∈ ran log)
19 logef 24322 . . 3 (((log‘𝐴) + (log‘𝐵)) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (log‘𝐵)))) = ((log‘𝐴) + (log‘𝐵)))
2018, 19syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (log‘𝐵)))) = ((log‘𝐴) + (log‘𝐵)))
2114, 20eqtr3d 2657 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐴 · 𝐵)) = ((log‘𝐴) + (log‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793  ran crn 5113  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  ℂcc 9931  ℝcr 9932  0cc0 9933   + caddc 9936   · cmul 9938  ℝ+crp 11829  expce 14786  logclog 24295 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-ioo 12176  df-ioc 12177  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-mod 12664  df-seq 12797  df-exp 12856  df-fac 13056  df-bc 13085  df-hash 13113  df-shft 13801  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-limsup 14196  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411  df-ef 14792  df-sin 14794  df-cos 14795  df-pi 14797  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-rest 16077  df-topn 16078  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-prds 16102  df-xrs 16156  df-qtop 16161  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-mulg 17535  df-cntz 17744  df-cmn 18189  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-fbas 19737  df-fg 19738  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819  df-nei 20896  df-lp 20934  df-perf 20935  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-haus 21113  df-tx 21359  df-hmeo 21552  df-fil 21644  df-fm 21736  df-flim 21737  df-flf 21738  df-xms 22119  df-ms 22120  df-tms 22121  df-cncf 22675  df-limc 23624  df-dv 23625  df-log 24297 This theorem is referenced by:  hgt750lem  30714
 Copyright terms: Public domain W3C validator