MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logreclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logreclem 25267
Description: Symmetry of the natural logarithm range by negation. Lemma for logrec 25268. (Contributed by Saveliy Skresanov, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
logreclem ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) = π) → -𝐴 ∈ ran log)

Proof of Theorem logreclem
StepHypRef Expression
1 logrncn 25073 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ran log → 𝐴 ∈ ℂ)
21adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
32negcld 10972 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
4 ellogrn 25070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ran log ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))
54biimpi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ran log → (𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))
65simp3d 1136 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ran log → (ℑ‘𝐴) ≤ π)
7 imcl 14458 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8 pire 24971 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
9 leneg 11131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
109biimpd 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) ≤ π → -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
117, 8, 10sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) ≤ π → -π ≤ -(ℑ‘𝐴)))
121, 6, 11sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ran log → -π ≤ -(ℑ‘𝐴))
138renegcli 10935 . . . . . . . . . . . . . 14 -π ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → -π ∈ ℝ)
157renegcld 11055 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
1614, 15leloed 10771 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (-π ≤ -(ℑ‘𝐴) ↔ (-π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴))))
1716biimpd 230 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (-π ≤ -(ℑ‘𝐴) → (-π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴))))
181, 12, 17sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ran log → (-π < -(ℑ‘𝐴) ∨ -π = -(ℑ‘𝐴)))
1918orcomd 865 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ran log → (-π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -π < -(ℑ‘𝐴)))
2019orcanai 996 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -π < -(ℑ‘𝐴))
215simp2d 1135 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ran log → -π < (ℑ‘𝐴))
22 ltnegcon1 11129 . . . . . . . . . . . . 13 ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘𝐴) ↔ -(ℑ‘𝐴) < π))
2322biimpd 230 . . . . . . . . . . . 12 ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘𝐴) → -(ℑ‘𝐴) < π))
248, 7, 23sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘𝐴) → -(ℑ‘𝐴) < π))
251, 21, 24sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ran log → -(ℑ‘𝐴) < π)
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) < π)
27 ltle 10717 . . . . . . . . . . . 12 ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
2815, 8, 27sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
291, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ran log → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
3029adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-(ℑ‘𝐴) < π → -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
3126, 30mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) ≤ π)
32 imneg 14480 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
3332breq2d 5069 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘-𝐴) ↔ -π < -(ℑ‘𝐴)))
342, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘-𝐴) ↔ -π < -(ℑ‘𝐴)))
3532breq1d 5067 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘-𝐴) ≤ π ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
362, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘-𝐴) ≤ π ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ π))
3734, 36anbi12d 630 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → ((-π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π) ↔ (-π < -(ℑ‘𝐴) ∧ -(ℑ‘𝐴) ≤ π)))
3820, 31, 37mpbir2and 709 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π))
39 3anass 1087 . . . . . . 7 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π) ↔ (-𝐴 ∈ ℂ ∧ (-π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π)))
403, 38, 39sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → (-𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π))
41 ellogrn 25070 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ran log ↔ (-𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘-𝐴) ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ π))
4240, 41sylibr 235 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ -π = -(ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ran log)
4342ex 413 . . . 4 (𝐴 ∈ ran log → (¬ -π = -(ℑ‘𝐴) → -𝐴 ∈ ran log))
4443orrd 857 . . 3 (𝐴 ∈ ran log → (-π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -𝐴 ∈ ran log))
45 recn 10615 . . . . . . . 8 (π ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
46 recn 10615 . . . . . . . 8 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
4745, 46anim12i 612 . . . . . . 7 ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
488, 7, 47sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
491, 48syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ran log → (π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ))
50 neg11 10925 . . . . . 6 ((π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (-π = -(ℑ‘𝐴) ↔ π = (ℑ‘𝐴)))
51 eqcom 2825 . . . . . 6 (π = (ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π)
5250, 51syl6bb 288 . . . . 5 ((π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (-π = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π))
5349, 52syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ran log → (-π = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = π))
5453orbi1d 910 . . 3 (𝐴 ∈ ran log → ((-π = -(ℑ‘𝐴) ∨ -𝐴 ∈ ran log) ↔ ((ℑ‘𝐴) = π ∨ -𝐴 ∈ ran log)))
5544, 54mpbid 233 . 2 (𝐴 ∈ ran log → ((ℑ‘𝐴) = π ∨ -𝐴 ∈ ran log))
5655orcanai 996 1 ((𝐴 ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) = π) → -𝐴 ∈ ran log)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  ran crn 5549  cfv 6348  cc 10523  cr 10524   < clt 10663  cle 10664  -cneg 10859  cim 14445  πcpi 15408  logclog 25065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067
This theorem is referenced by:  logrec  25268
  Copyright terms: Public domain W3C validator