Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logtayl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logtayl2 24325
 Description: Power series expression for the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logtayl2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
logtayl2 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (log‘𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem logtayl2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11675 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11360 . . 3 (𝐴𝑆 → 1 ∈ ℤ)
3 neg1cn 11076 . . . 4 -1 ∈ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝐴𝑆 → -1 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 9946 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
6 logtayl2.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
76eleq2i 2690 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
8 cnxmet 22499 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
9 1rp 11788 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
10 rpxr 11792 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
12 elbl 22116 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1)))
138, 5, 11, 12mp3an 1421 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1))
147, 13bitri 264 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1))
1514simplbi 476 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ∈ ℂ)
16 subcl 10232 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
175, 15, 16sylancr 694 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
18 eqid 2621 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1918cnmetdval 22497 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(1 − 𝐴)))
205, 15, 19sylancr 694 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(1 − 𝐴)))
2114simprbi 480 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1(abs ∘ − )𝐴) < 1)
2220, 21eqbrtrrd 4642 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (abs‘(1 − 𝐴)) < 1)
23 logtayl 24323 . . . . 5 (((1 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝐴)) < 1) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘(1 − (1 − 𝐴))))
2417, 22, 23syl2anc 692 . . . 4 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘(1 − (1 − 𝐴))))
25 nncan 10262 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
265, 15, 25sylancr 694 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
2726fveq2d 6157 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (log‘(1 − (1 − 𝐴))) = (log‘𝐴))
2827negeqd 10227 . . . 4 (𝐴𝑆 → -(log‘(1 − (1 − 𝐴))) = -(log‘𝐴))
2924, 28breqtrd 4644 . . 3 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘𝐴))
30 oveq2 6618 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((1 − 𝐴)↑𝑘) = ((1 − 𝐴)↑𝑛))
31 id 22 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
3230, 31oveq12d 6628 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
33 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))
34 ovex 6638 . . . . . 6 (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) ∈ V
3532, 33, 34fvmpt 6244 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
3635adantl 482 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
37 nnnn0 11251 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
38 expcl 12826 . . . . . 6 (((1 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) ∈ ℂ)
3917, 37, 38syl2an 494 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) ∈ ℂ)
40 nncn 10980 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
4140adantl 482 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
42 nnne0 11005 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
4342adantl 482 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
4439, 41, 43divcld 10753 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4536, 44eqeltrd 2698 . . 3 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
4639, 41, 43divnegd 10766 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -(((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) = (-((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
4744mulm1d 10434 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)) = -(((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
4837adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
49 expcl 12826 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
503, 48, 49sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
51 subcl 10232 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
5215, 5, 51sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
53 expcl 12826 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1)↑𝑛) ∈ ℂ)
5452, 37, 53syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1)↑𝑛) ∈ ℂ)
5550, 54mulneg1d 10435 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-(-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = -((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
563a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
57 neg1ne0 11078 . . . . . . . . . . . 12 -1 ≠ 0
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -1 ≠ 0)
59 nnz 11351 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
6059adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
6156, 58, 60expm1d 12966 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) = ((-1↑𝑛) / -1))
625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
63 ax-1ne0 9957 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 1 ≠ 0)
6550, 62, 64divneg2d 10767 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((-1↑𝑛) / 1) = ((-1↑𝑛) / -1))
6650div1d 10745 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑𝑛) / 1) = (-1↑𝑛))
6766negeqd 10227 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((-1↑𝑛) / 1) = -(-1↑𝑛))
6861, 65, 673eqtr2d 2661 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(-1↑𝑛))
6968oveq1d 6625 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = (-(-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7052mulm1d 10434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → (-1 · (𝐴 − 1)) = -(𝐴 − 1))
71 negsubdi2 10292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
7215, 5, 71sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
7370, 72eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑆 → (1 − 𝐴) = (-1 · (𝐴 − 1)))
7473oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛))
7574adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛))
76 mulexp 12847 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
773, 76mp3an1 1408 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7852, 37, 77syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7975, 78eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
8079negeqd 10227 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((1 − 𝐴)↑𝑛) = -((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
8155, 69, 803eqtr4d 2665 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = -((1 − 𝐴)↑𝑛))
8281oveq1d 6625 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛) = (-((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
8346, 47, 823eqtr4d 2665 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛))
84 nnm1nn0 11286 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
8584adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
86 expcl 12826 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
873, 85, 86sylancr 694 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
8887, 54, 41, 43div23d 10790 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
8983, 88eqtr2d 2656 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)))
90 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
9190oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (-1↑(𝑘 − 1)) = (-1↑(𝑛 − 1)))
9291, 31oveq12d 6628 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) = ((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛))
93 oveq2 6618 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴 − 1)↑𝑘) = ((𝐴 − 1)↑𝑛))
9492, 93oveq12d 6628 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
95 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))
96 ovex 6638 . . . . . 6 (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) ∈ V
9794, 95, 96fvmpt 6244 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
9897adantl 482 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
9936oveq2d 6626 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛)) = (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)))
10089, 98, 993eqtr4d 2665 . . 3 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (-1 · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛)))
1011, 2, 4, 29, 45, 100isermulc2 14330 . 2 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (-1 · -(log‘𝐴)))
1026dvlog2lem 24315 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
103102sseli 3583 . . . . . . 7 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
104 eqid 2621 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
105104logdmn0 24303 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ≠ 0)
106103, 105syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ≠ 0)
10715, 106logcld 24238 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
108107negcld 10331 . . . 4 (𝐴𝑆 → -(log‘𝐴) ∈ ℂ)
109108mulm1d 10434 . . 3 (𝐴𝑆 → (-1 · -(log‘𝐴)) = --(log‘𝐴))
110107negnegd 10335 . . 3 (𝐴𝑆 → --(log‘𝐴) = (log‘𝐴))
111109, 110eqtrd 2655 . 2 (𝐴𝑆 → (-1 · -(log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
112101, 111breqtrd 4644 1 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (log‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∖ cdif 3556   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678   ∘ ccom 5083  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℂcc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  -∞cmnf 10024  ℝ*cxr 10025   < clt 10026   − cmin 10218  -cneg 10219   / cdiv 10636  ℕcn 10972  ℕ0cn0 11244  ℤcz 11329  ℝ+crp 11784  (,]cioc 12126  seqcseq 12749  ↑cexp 12808  abscabs 13916   ⇝ cli 14157  ∞Metcxmt 19663  ballcbl 19665  logclog 24222 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-tan 14738  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-cmp 21113  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-ulm 24052  df-log 24224 This theorem is referenced by:  stirlinglem5  39628
 Copyright terms: Public domain W3C validator