MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpbl 22218
Description: Every ball around a limit point 𝑃 of a subset 𝑆 includes a member of 𝑆 (even if 𝑃𝑆). (Contributed by NM, 9-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
lpbl (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem lpbl
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 mopni.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
32mopntop 22155 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐽 ∈ Top)
5 simpl2 1063 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑆𝑋)
62mopnuni 22156 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
71, 6syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 = 𝐽)
85, 7sseqtrd 3620 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑆 𝐽)
9 eqid 2621 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
109lpss 20856 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐽)
114, 8, 10syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐽)
12 simpl3 1064 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
1311, 12sseldd 3584 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 𝐽)
1413, 7eleqtrrd 2701 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃𝑋)
15 simpr 477 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
162blnei 22217 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
171, 14, 15, 16syl3anc 1323 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
189islp2 20859 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽𝑃 𝐽) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
194, 8, 13, 18syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
2012, 19mpbid 222 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
21 ineq1 3785 . . . . 5 (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
2221neeq1d 2849 . . . 4 (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → ((𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
2322rspcva 3293 . . 3 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
2417, 20, 23syl2anc 692 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
25 elin 3774 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})))
26 eldifi 3710 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) → 𝑥𝑆)
2726anim2i 592 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥𝑆))
2827ancomd 467 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
2925, 28sylbi 207 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
3029eximi 1759 . . 3 (∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → ∃𝑥(𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
31 n0 3907 . . 3 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
32 df-rex 2913 . . 3 (∃𝑥𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
3330, 31, 323imtr4i 281 . 2 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ → ∃𝑥𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
3424, 33syl 17 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cdif 3552  cin 3554  wss 3555  c0 3891  {csn 4148   cuni 4402  cfv 5847  (class class class)co 6604  +crp 11776  ∞Metcxmt 19650  ballcbl 19652  MetOpencmopn 19655  Topctop 20617  neicnei 20811  limPtclp 20848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850
This theorem is referenced by:  limcrecl  39262
  Copyright terms: Public domain W3C validator