MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpi0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpi0 19169
Description: The zero ideal is always principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpival.p 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpi0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lpi0 (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lpi0
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 lpi0.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
31, 2ring0cl 18493 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4 eqid 2621 . . . . 5 (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
54, 2rsp0 19147 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 }) = { 0 })
65eqcomd 2627 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 }))
7 sneq 4160 . . . . . 6 (𝑔 = 0 → {𝑔} = { 0 })
87fveq2d 6154 . . . . 5 (𝑔 = 0 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) = ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 }))
98eqeq2d 2631 . . . 4 (𝑔 = 0 → ({ 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) ↔ { 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 })))
109rspcev 3295 . . 3 (( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ { 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 })) → ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅){ 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}))
113, 6, 10syl2anc 692 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅){ 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}))
12 lpival.p . . 3 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
1312, 4, 1islpidl 19168 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅){ 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔})))
1411, 13mpbird 247 1 (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {csn 4150  cfv 5849  Basecbs 15784  0gc0g 16024  Ringcrg 18471  RSpancrsp 19093  LPIdealclpidl 19163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349  df-subg 17515  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-subrg 18702  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-lsp 18894  df-sra 19094  df-rgmod 19095  df-rsp 19097  df-lpidl 19165
This theorem is referenced by:  drnglpir  19175  zringlpir  19759
  Copyright terms: Public domain W3C validator