Theorem lpi1 20020

Description: The unit ideal is always principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpival.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lpi1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lpi1

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpi1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 19317	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
4		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
5	4, 1, 2	rsp1 19996	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘{(1r‘𝑅)}) = 𝐵)
6	5	eqcomd 2827	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = ((RSpan‘𝑅)‘{(1r‘𝑅)}))
7		sneq 4576	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (1r‘𝑅) → {𝑔} = {(1r‘𝑅)})
8	7	fveq2d 6673	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (1r‘𝑅) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) = ((RSpan‘𝑅)‘{(1r‘𝑅)}))
9	8	rspceeqv 3637	. . 3 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 = ((RSpan‘𝑅)‘{(1r‘𝑅)})) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐵 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}))
10	3, 6, 9	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐵 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}))
11		lpival.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
12	11, 4, 1	islpidl 20018	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐵 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔})))
13	10, 12	mpbird 259	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  {csn 4566  ‘cfv 6354  Basecbs 16482  1_rcur 19250  Ringcrg 19296  RSpancrsp 19942  LPIdealclpidl 20013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18275  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-subrg 19532  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-sra 19943  df-rgmod 19944  df-lidl 19945  df-rsp 19946  df-lpidl 20015

This theorem is referenced by:  drnglpir  20025