Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplncmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplncmp 34367
Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncmp.l = (le‘𝐾)
lplncmp.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplncmp ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lplncmp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1060 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋𝑃)
2 simp1 1059 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 lplncmp.p . . . . . . 7 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
53, 4lplnbase 34339 . . . . . 6 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
653ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2621 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
8 eqid 2621 . . . . . 6 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
93, 7, 8, 4islpln4 34336 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
102, 6, 9syl2anc 692 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
111, 10mpbid 222 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
12 simpr3 1067 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
13 hlpos 34171 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ Poset)
1514adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
166adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
17 simpl3 1064 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌𝑃)
183, 4lplnbase 34339 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
20 simpr1 1065 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (LLines‘𝐾))
213, 8llnbase 34314 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
23 simpr2 1066 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24 simpl1 1062 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
25 lplncmp.l . . . . . . . . . . 11 = (le‘𝐾)
263, 25, 7cvrle 34084 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑧 𝑋)
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1326 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑋)
283, 25postr 16893 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1325 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
3027, 12, 29mp2and 714 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑌)
3125, 7, 8, 4llncvrlpln2 34362 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑌𝑃) ∧ 𝑧 𝑌) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1326 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
333, 25, 7cvrcmp 34089 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1341 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3512, 34mpbid 222 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
36353exp2 1282 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) → (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))))
3736rexlimdv 3025 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌)))
3811, 37mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
393, 25posref 16891 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋 𝑋)
4014, 6, 39syl2anc 692 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋 𝑋)
41 breq2 4627 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 𝑋𝑋 𝑌))
4240, 41syl5ibcom 235 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 = 𝑌𝑋 𝑌))
4338, 42impbid 202 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2909   class class class wbr 4623  cfv 5857  Basecbs 15800  lecple 15888  Posetcpo 16880  ccvr 34068  HLchlt 34156  LLinesclln 34296  LPlanesclpl 34297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-lat 16986  df-clat 17048  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303  df-lplanes 34304
This theorem is referenced by:  lplnexllnN  34369  lplnnlt  34370  2llnjaN  34371  dalem-cly  34476  dalem44  34521
  Copyright terms: Public domain W3C validator