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Theorem lplnle 35144
Description: Any element greater than 0 and not an atom and not a lattice line majorizes a lattice plane. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnle.l = (le‘𝐾)
lplnle.z 0 = (0.‘𝐾)
lplnle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnle.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnle.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnle (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦,   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lplnle
Dummy variables 𝑧 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lplnle.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lplnle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 lplnle.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
4 lplnle.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 lplnle.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5llnle 35122 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴)) → ∃𝑧𝑁 𝑧 𝑋)
763adantr3 1242 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ∃𝑧𝑁 𝑧 𝑋)
8 simp1ll 1144 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
91, 5llnbase 35113 . . . . . . 7 (𝑧𝑁𝑧𝐵)
1093ad2ant2 1103 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧𝐵)
11 simp1lr 1145 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑋𝐵)
12 simp3 1083 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧 𝑋)
13 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧𝑁)
14 simp1r3 1179 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → ¬ 𝑋𝑁)
15 nelne2 2920 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑁 ∧ ¬ 𝑋𝑁) → 𝑧𝑋)
1613, 14, 15syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧𝑋)
17 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
182, 17pltval 17007 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝑁𝑋𝐵) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 𝑋𝑧𝑋)))
198, 13, 11, 18syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 𝑋𝑧𝑋)))
2012, 16, 19mpbir2and 977 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧(lt‘𝐾)𝑋)
21 eqid 2651 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
22 eqid 2651 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
231, 2, 17, 21, 22, 4hlrelat3 35016 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
248, 10, 11, 20, 23syl31anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → ∃𝑝𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
25 simp1ll 1144 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
26 hllat 34968 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
28 simp21 1114 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑧𝑁)
2928, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑧𝐵)
30 simp23 1116 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑝𝐴)
311, 4atbase 34894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑝𝐵)
331, 21latjcl 17098 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑝𝐵) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
3427, 29, 32, 33syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
35 simp3l 1109 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝))
36 lplnle.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
371, 22, 5, 36lplni 35136 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵𝑧𝑁) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
3825, 34, 28, 35, 37syl31anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
39 simp3r 1110 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)
40 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧(join‘𝐾)𝑝) → (𝑦 𝑋 ↔ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
4140rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 (((𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃 ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
4238, 39, 41syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
43423exp 1283 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ((𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))
44433expd 1306 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → (𝑧𝑁 → (𝑧 𝑋 → (𝑝𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))))
45443imp 1275 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → (𝑝𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))
4645rexlimdv 3059 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → (∃𝑝𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋))
4724, 46mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
48473exp 1283 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → (𝑧𝑁 → (𝑧 𝑋 → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))
4948rexlimdv 3059 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → (∃𝑧𝑁 𝑧 𝑋 → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋))
507, 49mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  ltcplt 16988  joincjn 16991  0.cp0 17084  Latclat 17092  ccvr 34867  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LLinesclln 35095  LPlanesclpl 35096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  35220
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