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Theorem lplnle 35144
 Description: Any element greater than 0 and not an atom and not a lattice line majorizes a lattice plane. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnle.l = (le‘𝐾)
lplnle.z 0 = (0.‘𝐾)
lplnle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnle.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnle.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnle (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦,   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lplnle
Dummy variables 𝑧 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lplnle.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lplnle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 lplnle.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
4 lplnle.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 lplnle.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5llnle 35122 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴)) → ∃𝑧𝑁 𝑧 𝑋)
763adantr3 1242 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ∃𝑧𝑁 𝑧 𝑋)
8 simp1ll 1144 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
91, 5llnbase 35113 . . . . . . 7 (𝑧𝑁𝑧𝐵)
1093ad2ant2 1103 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧𝐵)
11 simp1lr 1145 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑋𝐵)
12 simp3 1083 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧 𝑋)
13 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧𝑁)
14 simp1r3 1179 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → ¬ 𝑋𝑁)
15 nelne2 2920 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑁 ∧ ¬ 𝑋𝑁) → 𝑧𝑋)
1613, 14, 15syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧𝑋)
17 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
182, 17pltval 17007 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝑁𝑋𝐵) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 𝑋𝑧𝑋)))
198, 13, 11, 18syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 𝑋𝑧𝑋)))
2012, 16, 19mpbir2and 977 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧(lt‘𝐾)𝑋)
21 eqid 2651 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
22 eqid 2651 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
231, 2, 17, 21, 22, 4hlrelat3 35016 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
248, 10, 11, 20, 23syl31anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → ∃𝑝𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
25 simp1ll 1144 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
26 hllat 34968 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
28 simp21 1114 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑧𝑁)
2928, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑧𝐵)
30 simp23 1116 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑝𝐴)
311, 4atbase 34894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑝𝐵)
331, 21latjcl 17098 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑝𝐵) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
3427, 29, 32, 33syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
35 simp3l 1109 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝))
36 lplnle.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
371, 22, 5, 36lplni 35136 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵𝑧𝑁) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
3825, 34, 28, 35, 37syl31anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
39 simp3r 1110 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)
40 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧(join‘𝐾)𝑝) → (𝑦 𝑋 ↔ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
4140rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 (((𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃 ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
4238, 39, 41syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
43423exp 1283 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ((𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))
44433expd 1306 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → (𝑧𝑁 → (𝑧 𝑋 → (𝑝𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))))
45443imp 1275 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → (𝑝𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))
4645rexlimdv 3059 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → (∃𝑝𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋))
4724, 46mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
48473exp 1283 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → (𝑧𝑁 → (𝑧 𝑋 → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))
4948rexlimdv 3059 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → (∃𝑧𝑁 𝑧 𝑋 → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋))
507, 49mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  ltcplt 16988  joincjn 16991  0.cp0 17084  Latclat 17092   ⋖ ccvr 34867  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LLinesclln 35095  LPlanesclpl 35096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103 This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  35220
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