Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnn0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnn0N 36563
Description: A lattice plane is nonzero. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnn0.z 0 = (0.‘𝐾)
lplnn0.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnn0N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋0 )

Proof of Theorem lplnn0N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
21atex 36422 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (Atoms‘𝐾) ≠ ∅)
3 n0 4307 . . . 4 ((Atoms‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
42, 3sylib 219 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
54adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
6 eqid 2818 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7 lplnn0.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
86, 1, 7lplnnleat 36558 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
983expa 1110 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
10 hlop 36378 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1110ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
12 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 1atbase 36305 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1413adantl 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
15 lplnn0.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
1612, 6, 15op0le 36202 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
1711, 14, 16syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
18 breq1 5060 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝑋(le‘𝐾)𝑝0 (le‘𝐾)𝑝))
1917, 18syl5ibrcom 248 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 = 0𝑋(le‘𝐾)𝑝))
2019necon3bd 3027 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝𝑋0 ))
219, 20mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋0 )
225, 21exlimddv 1927 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  c0 4288   class class class wbr 5057  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  0.cp0 17635  OPcops 36188  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LPlanesclpl 36508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator