Theorem lplnnleat 35331

Description: A lattice plane cannot majorize an atom. (Contributed by NM, 14-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnnleat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lplnnleat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnnleat.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnnleat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑄)

Proof of Theorem lplnnleat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		simp3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4		lplnnleat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		lplnnleat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		lplnnleat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	lplnnle2at 35330	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑋 ≤ (𝑄(join‘𝐾)𝑄))
9	1, 2, 3, 3, 8	syl13anc 1479	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ (𝑄(join‘𝐾)𝑄))
10	5, 6	hlatjidm 35158	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄(join‘𝐾)𝑄) = 𝑄)
11	10	3adant2 1126	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄(join‘𝐾)𝑄) = 𝑄)
12	11	breq2d 4816	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ (𝑄(join‘𝐾)𝑄) ↔ 𝑋 ≤ 𝑄))
13	9, 12	mtbid 313	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  lecple 16150  joincjn 17145  Atomscatm 35053  HLchlt 35140  LPlanesclpl 35281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287  df-lplanes 35288

This theorem is referenced by:  lplnneat  35334  lplnn0N  35336