MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lply1binom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lply1binom 19608
Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝑋𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1binom.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cply1binom.x 𝑋 = (var1𝑅)
cply1binom.a + = (+g𝑃)
cply1binom.m × = (.r𝑃)
cply1binom.t · = (.g𝑃)
cply1binom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e = (.g𝐺)
cply1binom.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
lply1binom ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ,𝑘   + ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem lply1binom
StepHypRef Expression
1 crngring 18490 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 cply1binom.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 19550 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4 ringcmn 18513 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
51, 3, 43syl 18 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CMnd)
653ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
7 cply1binom.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
8 cply1binom.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
97, 2, 8vr1cl 19519 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
101, 9syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋𝐵)
11103ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑋𝐵)
12 simp3 1061 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
13 cply1binom.a . . . . 5 + = (+g𝑃)
148, 13cmncom 18141 . . . 4 ((𝑃 ∈ CMnd ∧ 𝑋𝐵𝐴𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
156, 11, 12, 14syl3anc 1323 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
1615oveq2d 6626 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝑋 + 𝐴)) = (𝑁 (𝐴 + 𝑋)))
172ply1crng 19500 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
18173ad2ant1 1080 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
19 simp2 1060 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
208eleq2i 2690 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
2120biimpi 206 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
22213ad2ant3 1082 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
2310, 8syl6eleq 2708 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
24233ad2ant1 1080 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
25 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
26 cply1binom.m . . . 4 × = (.r𝑃)
27 cply1binom.t . . . 4 · = (.g𝑃)
28 cply1binom.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29 cply1binom.e . . . 4 = (.g𝐺)
3025, 26, 27, 13, 28, 29crngbinom 18553 . . 3 (((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑁 (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
3118, 19, 22, 24, 30syl22anc 1324 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
3216, 31eqtrd 2655 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  cmin 10218  0cn0 11244  ...cfz 12276  Ccbc 13037  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  .rcmulr 15874   Σg cgsu 16033  .gcmg 17472  CMndccmn 18125  mulGrpcmgp 18421  Ringcrg 18479  CRingccrg 18480  var1cv1 19478  Poly1cpl1 19479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-tset 15892  df-ple 15893  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-ghm 17590  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-srg 18438  df-ring 18481  df-cring 18482  df-subrg 18710  df-psr 19288  df-mvr 19289  df-mpl 19290  df-opsr 19292  df-psr1 19482  df-vr1 19483  df-ply1 19484
This theorem is referenced by:  lply1binomsc  19609
  Copyright terms: Public domain W3C validator