MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lply1binomsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lply1binomsc 20403
Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings, expressed by an element of this ring: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝑋𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1binom.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cply1binom.x 𝑋 = (var1𝑅)
cply1binom.a + = (+g𝑃)
cply1binom.m × = (.r𝑃)
cply1binom.t · = (.g𝑃)
cply1binom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e = (.g𝐺)
lply1binomsc.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
lply1binomsc.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
lply1binomsc.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
lply1binomsc.e 𝐸 = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
lply1binomsc ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑁 (𝑋 + (𝑆𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ,𝑘   + ,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)

Proof of Theorem lply1binomsc
StepHypRef Expression
1 lply1binomsc.s . . . . . 6 𝑆 = (algSc‘𝑃)
2 eqid 2818 . . . . . 6 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3 crngring 19237 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4 cply1binom.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Poly1𝑅)
54ply1ring 20344 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
63, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
763ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑃 ∈ Ring)
84ply1lmod 20348 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
1093ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑃 ∈ LMod)
11 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
12 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
131, 2, 7, 10, 11, 12asclf 20039 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
14 lply1binomsc.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
154ply1sca 20349 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
16153ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
1716fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
1814, 17syl5eq 2865 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
1918feq2d 6493 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃) ↔ 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃)))
2013, 19mpbird 258 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃))
21 simp3 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐴𝐾)
2220, 21ffvelrnd 6844 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑆𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
23 cply1binom.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
24 cply1binom.a . . . 4 + = (+g𝑃)
25 cply1binom.m . . . 4 × = (.r𝑃)
26 cply1binom.t . . . 4 · = (.g𝑃)
27 cply1binom.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
28 cply1binom.e . . . 4 = (.g𝐺)
294, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 12lply1binom 20402 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆𝐴) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑁 (𝑋 + (𝑆𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
3022, 29syld3an3 1401 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑁 (𝑋 + (𝑆𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
314ply1assa 20295 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
32313ad2ant1 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑃 ∈ AssAlg)
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ AssAlg)
34 fznn0sub 12927 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
3534adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
3615fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
3714, 36syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
3837eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (𝐴𝐾𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
3938biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
40393adant2 1123 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
4140adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑃) = (1r𝑃)
4312, 42ringidcl 19247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
446, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
45443ad2ant1 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
4645adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
47 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
48 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃))
49 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
5012, 2, 11, 47, 48, 49, 27, 28assamulgscm 20058 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ ((𝑁𝑘) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑁𝑘) (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃))) = (((𝑁𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠𝑃)((𝑁𝑘) (1r𝑃))))
5133, 35, 41, 46, 50syl13anc 1364 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃))) = (((𝑁𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠𝑃)((𝑁𝑘) (1r𝑃))))
52 lply1binomsc.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (.g𝐻)
53 lply1binomsc.h . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
5415fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
5553, 54syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
5655fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing → (.g𝐻) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
5752, 56syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
58573ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
5958adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
6059eqcomd 2824 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = 𝐸)
6160oveqd 7162 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴) = ((𝑁𝑘)𝐸𝐴))
6227ringmgp 19232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
636, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
64633ad2ant1 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐺 ∈ Mnd)
6527, 12mgpbas 19174 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
6627, 42ringidval 19182 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑃) = (0g𝐺)
6765, 28, 66mulgnn0z 18192 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑘) (1r𝑃)) = (1r𝑃))
6864, 34, 67syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (1r𝑃)) = (1r𝑃))
6961, 68oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠𝑃)((𝑁𝑘) (1r𝑃))) = (((𝑁𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
7051, 69eqtrd 2853 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃))) = (((𝑁𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
711, 2, 11, 47, 42asclval 20037 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆𝐴) = (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
7241, 71syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆𝐴) = (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
7372oveq2d 7161 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) = ((𝑁𝑘) (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃))))
7453ringmgp 19232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
753, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 ∈ Mnd)
76753ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐻 ∈ Mnd)
7776adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐻 ∈ Mnd)
78 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴𝐾)
7953, 14mgpbas 19174 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐻)
8078, 79eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
81803adant2 1123 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
8281adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
83 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
8483, 52mulgnn0cl 18182 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝑁𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘𝐻))
8577, 35, 82, 84syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘𝐻))
8616adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8786eqcomd 2824 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
8887fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
89 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9053, 89mgpbas 19174 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
9188, 90syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
9285, 91eleqtrrd 2913 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
931, 2, 11, 47, 42asclval 20037 . . . . . . . 8 (((𝑁𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
9492, 93syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
9570, 73, 943eqtr4d 2863 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) = (𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)))
9695oveq1d 7160 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋)) = ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋)))
9796oveq2d 7161 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋))))
9897mpteq2dva 5152 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋)))))
9998oveq2d 7161 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
10030, 99eqtrd 2853 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑁 (𝑋 + (𝑆𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  cmin 10858  0cn0 11885  ...cfz 12880  Ccbc 13650  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557   Σg cgsu 16702  Mndcmnd 17899  .gcmg 18162  mulGrpcmgp 19168  1rcur 19180  Ringcrg 19226  CRingccrg 19227  LModclmod 19563  AssAlgcasa 20010  algSccascl 20012  var1cv1 20272  Poly1cpl1 20273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-tset 16572  df-ple 16573  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-srg 19185  df-ring 19228  df-cring 19229  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-assa 20013  df-ascl 20015  df-psr 20064  df-mvr 20065  df-mpl 20066  df-opsr 20068  df-psr1 20276  df-vr1 20277  df-ply1 20278
This theorem is referenced by:  chpscmatgsumbin  21380
  Copyright terms: Public domain W3C validator