Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpssat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpssat 33780
 Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 29071 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpssat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lpssat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lpssat.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lpssat.t (𝜑𝑇𝑆)
lpssat.u (𝜑𝑈𝑆)
lpssat.l (𝜑𝑇𝑈)
Assertion
Ref Expression
lpssat (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem lpssat
StepHypRef Expression
1 lpssat.l . . . 4 (𝜑𝑇𝑈)
2 dfpss3 3671 . . . . 5 (𝑇𝑈 ↔ (𝑇𝑈 ∧ ¬ 𝑈𝑇))
32simprbi 480 . . . 4 (𝑇𝑈 → ¬ 𝑈𝑇)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑈𝑇)
5 iman 440 . . . . 5 ((𝑞𝑈𝑞𝑇) ↔ ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
65ralbii 2974 . . . 4 (∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇) ↔ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
7 ss2rab 3657 . . . . 5 ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} ↔ ∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇))
8 lpssat.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑊 ∈ LMod)
10 lpssat.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
11 lpssat.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
1210, 11lsatlss 33763 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
13 rabss2 3664 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
14 uniss 4424 . . . . . . . . . . 11 ({𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇} → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
158, 12, 13, 144syl 19 . . . . . . . . . 10 (𝜑 {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
16 lpssat.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇𝑆)
17 unimax 4439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇𝑆 {𝑞𝑆𝑞𝑇} = 𝑇)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 {𝑞𝑆𝑞𝑇} = 𝑇)
19 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2019, 10lssss 18856 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇𝑆𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
2218, 21eqsstrd 3618 . . . . . . . . . 10 (𝜑 {𝑞𝑆𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
2315, 22sstrd 3593 . . . . . . . . 9 (𝜑 {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
25 uniss 4424 . . . . . . . . 9 ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} → {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇})
2625adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇})
27 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
2819, 27lspss 18903 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
299, 24, 26, 28syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
30 lpssat.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
3110, 27, 11lssats 33779 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
328, 30, 31syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
3332adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
3410, 27, 11lssats 33779 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
358, 16, 34syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
3729, 33, 363sstr4d 3627 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑈𝑇)
3837ex 450 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} → 𝑈𝑇))
397, 38syl5bir 233 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇) → 𝑈𝑇))
406, 39syl5bir 233 . . 3 (𝜑 → (∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) → 𝑈𝑇))
414, 40mtod 189 . 2 (𝜑 → ¬ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
42 dfrex2 2990 . 2 (∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) ↔ ¬ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
4341, 42sylibr 224 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  {crab 2911   ⊆ wss 3555   ⊊ wpss 3556  ∪ cuni 4402  ‘cfv 5847  Basecbs 15781  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890  LSAtomsclsa 33741 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lsatoms 33743 This theorem is referenced by:  lrelat  33781  dihglblem6  36109  dochexmidlem8  36236
 Copyright terms: Public domain W3C validator