Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptioo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptioo1 39670
Description: The lower bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo1.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptioo1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lptioo1.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
lptioo1.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lptioo1 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 3736 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3 lbioo 12203 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4 eleq1 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
54biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 𝐴𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
63, 5mtoi 190 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
76adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
8 velsn 4191 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
97, 8sylnibr 319 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐴})
102, 9eldifd 3583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}))
1110ex 450 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})))
1211ssrdv 3607 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}))
131, 12eqssd 3618 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵))
1413ineq2d 3812 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
1514ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
16 simplrl 800 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
17 simplrr 801 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
18 lptioo1.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1918rexrd 10086 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
20 lptioo1.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2119, 20jca 554 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2221ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
23 iooin 12206 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
2416, 17, 22, 23syl21anc 1324 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
25 elioo3g 12201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐴𝐴 < 𝑏)))
2625biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐴𝐴 < 𝑏)))
2726simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*))
2827simp1d 1072 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ*)
2927simp3d 1074 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3026simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 < 𝐴𝐴 < 𝑏))
3130simpld 475 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 < 𝐴)
3228, 29, 31xrltled 39305 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎𝐴)
3332iftrued 4092 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
3433adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
3530simprd 479 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 < 𝑏)
3635ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 < 𝑏)
37 iftrue 4090 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐵 → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝑏)
3837eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝐵𝑏 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
3938adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4036, 39breqtrd 4677 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
41 lptioo1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
4241ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
43 iffalse 4093 . . . . . . . . . . . 12 𝑏𝐵 → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
4443eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝐵𝐵 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4544adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐵 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4642, 45breqtrd 4677 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐴 < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4740, 46pm2.61dan 832 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐴 < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4834, 47eqbrtrd 4673 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4919ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5016adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ*)
5149, 50ifclda 4118 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ*)
5217adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ*)
5320ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5452, 53ifclda 4118 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*)
55 ioon0 12198 . . . . . . . 8 ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*) → ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
5651, 54, 55syl2anc 693 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
5748, 56mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅)
5824, 57eqnetrd 2860 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
5915, 58eqnetrd 2860 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅)
6059ex 450 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) → (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅))
6160ralrimivva 2970 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅))
62 lptioo1.1 . . 3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
63 ioossre 12232 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
6463a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
6562, 64, 18islptre 39657 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅)))
6661, 65mpbird 247 1 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  wral 2911  cdif 3569  cin 3571  wss 3572  c0 3913  ifcif 4084  {csn 4175   class class class wbr 4651  ran crn 5113  cfv 5886  (class class class)co 6647  cr 9932  *cxr 10070   < clt 10071  cle 10072  (,)cioo 12172  topGenctg 16092  limPtclp 20932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-q 11786  df-ioo 12176  df-topgen 16098  df-top 20693  df-topon 20710  df-bases 20744  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819  df-nei 20896  df-lp 20934
This theorem is referenced by:  lptioo1cn  39684  fouriersw  40217
  Copyright terms: Public domain W3C validator