Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptioo2 40358
Description: The upper bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo2.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptioo2.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
lptioo2.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lptioo2.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lptioo2 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 3873 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3 ubioo 12392 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
54biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 𝐵𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
63, 5mtoi 190 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
76adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
8 velsn 4329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
97, 8sylnibr 318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
102, 9eldifd 3718 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}))
1110ex 449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})))
1211ssrdv 3742 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}))
131, 12eqssd 3753 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
1413ineq2d 3949 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
1514ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
16 simplrl 819 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
17 simplrr 820 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
18 lptioo2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1918ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
20 elioo3g 12389 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐵𝐵 < 𝑏)))
2120biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐵𝐵 < 𝑏)))
2221simpld 477 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2322simp3d 1138 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2423adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25 iooin 12394 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
2616, 17, 19, 24, 25syl22anc 1474 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
27 iftrue 4228 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐴 → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
2827adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎𝐴) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
29 lptioo2.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
3029ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
3128, 30eqbrtrd 4818 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎𝐴) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
32 iffalse 4231 . . . . . . . . . . 11 𝑎𝐴 → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝑎)
3332adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎𝐴) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝑎)
3421simprd 482 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 < 𝐵𝐵 < 𝑏))
3534simpld 477 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 < 𝐵)
3635ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎𝐴) → 𝑎 < 𝐵)
3733, 36eqbrtrd 4818 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎𝐴) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
3831, 37pm2.61dan 867 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
3934simprd 482 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 < 𝑏)
4022simp2d 1137 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ*)
41 xrltnle 10289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝐵))
4223, 40, 41syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝐵))
4339, 42mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ¬ 𝑏𝐵)
44 iffalse 4231 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝐵 → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
4645eqcomd 2758 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4746adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4838, 47breqtrd 4822 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4919, 16ifcld 4267 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ*)
5047, 24eqeltrrd 2832 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*)
51 ioon0 12386 . . . . . . . 8 ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*) → ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
5249, 50, 51syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
5348, 52mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅)
5426, 53eqnetrd 2991 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
5515, 54eqnetrd 2991 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
5655ex 449 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
5756ralrimivva 3101 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
58 lptioo2.1 . . 3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
59 ioossre 12420 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
6059a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
61 lptioo2.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6258, 60, 61islptre 40346 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
6357, 62mpbird 247 1 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  cdif 3704  cin 3706  wss 3707  c0 4050  ifcif 4222  {csn 4313   class class class wbr 4796  ran crn 5259  cfv 6041  (class class class)co 6805  cr 10119  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  (,)cioo 12360  topGenctg 16292  limPtclp 21132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-ioo 12364  df-topgen 16298  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134
This theorem is referenced by:  lptioo2cn  40372  fouriersw  40943
  Copyright terms: Public domain W3C validator