Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lrelat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lrelat 33115
Description: Subspaces are relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 28413 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lrelat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lrelat.p = (LSSum‘𝑊)
lrelat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lrelat.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lrelat.t (𝜑𝑇𝑆)
lrelat.u (𝜑𝑈𝑆)
lrelat.l (𝜑𝑇𝑈)
Assertion
Ref Expression
lrelat (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞
Allowed substitution hint:   (𝑞)

Proof of Theorem lrelat
StepHypRef Expression
1 lrelat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lrelat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3 lrelat.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lrelat.t . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
5 lrelat.u . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
6 lrelat.l . . 3 (𝜑𝑇𝑈)
71, 2, 3, 4, 5, 6lpssat 33114 . 2 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
8 ancom 464 . . . 4 ((𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) ↔ (¬ 𝑞𝑇𝑞𝑈))
9 lrelat.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
103adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
111lsssssubg 18725 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
134adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑇𝑆)
1412, 13sseldd 3568 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
15 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
161, 2, 10, 15lsatlssel 33098 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞𝑆)
1712, 16sseldd 3568 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ (SubGrp‘𝑊))
189, 14, 17lssnle 17856 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (¬ 𝑞𝑇𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞)))
196pssssd 3665 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇𝑈)
2019adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑇𝑈)
2120biantrurd 527 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝑈 ↔ (𝑇𝑈𝑞𝑈)))
225adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑈𝑆)
2312, 22sseldd 3568 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
249lsmlub 17847 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑞 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇𝑈𝑞𝑈) ↔ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈))
2514, 17, 23, 24syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑇𝑈𝑞𝑈) ↔ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈))
2621, 25bitrd 266 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝑈 ↔ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈))
2718, 26anbi12d 742 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → ((¬ 𝑞𝑇𝑞𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)))
288, 27syl5bb 270 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)))
2928rexbidva 3030 . 2 (𝜑 → (∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)))
307, 29mpbid 220 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  wss 3539  wpss 3540  cfv 5790  (class class class)co 6527  SubGrpcsubg 17357  LSSumclsm 17818  LModclmod 18632  LSubSpclss 18699  LSAtomsclsa 33075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-subg 17360  df-lsm 17820  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lsatoms 33077
This theorem is referenced by:  lcvat  33131
  Copyright terms: Public domain W3C validator