Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv0 33798
Description: An atom covers the zero subspace. (atcv0 29050 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0.o 0 = (0g𝑊)
lsatcv0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcv0.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0.q (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcv0 (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

Proof of Theorem lsatcv0
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcv0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19025 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 eqid 2621 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5 lsatcv0.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6 lsatcv0.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
74, 5, 3, 6lsatlssel 33764 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
8 lsatcv0.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
98, 4lss0ss 18868 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ 𝑄)
103, 7, 9syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑄)
118, 5, 3, 6lsatn0 33766 . . . 4 (𝜑𝑄 ≠ { 0 })
1211necomd 2845 . . 3 (𝜑 → { 0 } ≠ 𝑄)
13 df-pss 3571 . . 3 ({ 0 } ⊊ 𝑄 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑄 ∧ { 0 } ≠ 𝑄))
1410, 12, 13sylanbrc 697 . 2 (𝜑 → { 0 } ⊊ 𝑄)
15 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16 eqid 2621 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
1715, 16, 8, 5islsat 33758 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
183, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
196, 18mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
201adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
21 eldifi 3710 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2221adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
23 eldifsni 4289 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥0 )
2423adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥0 )
2515, 8, 4, 16, 20, 22, 24lspsncv0 19065 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
2625ex 450 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
27 psseq2 3673 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠𝑄𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
2827anbi2d 739 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄) ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
2928rexbidv 3045 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄) ↔ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
3029notbid 308 . . . . . 6 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
3130biimprcd 240 . . . . 5 (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄)))
3226, 31syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄))))
3332rexlimdv 3023 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄)))
3419, 33mpd 15 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄))
35 lsatcv0.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
368, 4lsssn0 18867 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
373, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
384, 35, 1, 37, 7lcvbr 33788 . 2 (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄))))
3914, 34, 38mpbir2and 956 1 (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  cdif 3552  wss 3555  wpss 3556  {csn 4148   class class class wbr 4613  cfv 5847  Basecbs 15781  0gc0g 16021  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890  LVecclvec 19021  LSAtomsclsa 33741  L clcv 33785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33743  df-lcv 33786
This theorem is referenced by:  lsatcveq0  33799  lsat0cv  33800  lsatcv0eq  33814  mapdcnvatN  36435  mapdat  36436
  Copyright terms: Public domain W3C validator