Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv1 33815
 Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 29088 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv1.o 0 = (0g𝑊)
lsatcv1.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcv1.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcv1.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv1.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcv1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcv1.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcv1.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcv1.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcv1.l (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcv1 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv1
StepHypRef Expression
1 lsatcv1.l . . . 4 (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
2 breq1 4616 . . . 4 (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶(𝑄 𝑅) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
31, 2syl5ibcom 235 . . 3 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
4 lsatcv1.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
5 lsatcv1.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
6 lsatcv1.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7 lsatcv1.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
8 lsatcv1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
9 lsatcv1.q . . . 4 (𝜑𝑄𝐴)
10 lsatcv1.r . . . 4 (𝜑𝑅𝐴)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lsatcv0eq 33814 . . 3 (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
123, 11sylibd 229 . 2 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑄 = 𝑅))
131adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
14 lsatcv1.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
158adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16 lsatcv1.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝑆)
18 oveq1 6611 . . . . . . 7 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑅))
19 lveclmod 19025 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
208, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2114, 6, 20, 10lsatlssel 33764 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝑆)
2214lsssubg 18876 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2320, 21, 22syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
245lsmidm 17998 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
2618, 25sylan9eqr 2677 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) = 𝑅)
2710adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑅𝐴)
2826, 27eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) ∈ 𝐴)
294, 14, 6, 7, 15, 17, 28lsatcveq0 33799 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑈𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑈 = { 0 }))
3013, 29mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈 = { 0 })
3130ex 450 . 2 (𝜑 → (𝑄 = 𝑅𝑈 = { 0 }))
3212, 31impbid 202 1 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {csn 4148   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0gc0g 16021  SubGrpcsubg 17509  LSSumclsm 17970  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LVecclvec 19021  LSAtomsclsa 33741   ⋖L clcv 33785 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33743  df-lcv 33786 This theorem is referenced by:  lsatcvat2  33818
 Copyright terms: Public domain W3C validator