Theorem lsatcv1 36188

Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 30160 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcv1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcv1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcv1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcv1.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsatcv1	⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv1.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
2		breq1 5072	. . . 4 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
3	1, 2	syl5ibcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
4		lsatcv1.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		lsatcv1.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lsatcv1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7		lsatcv1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
8		lsatcv1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
9		lsatcv1.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
10		lsatcv1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lsatcv0eq 36187	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
12	3, 11	sylibd 241	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑄 = 𝑅))
13	1	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
14		lsatcv1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
15	8	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16		lsatcv1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18		oveq1 7166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑅))
19		lveclmod 19881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	8, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	14, 6, 20, 10	lsatlssel 36137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
22	14	lsssubg 19732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	20, 21, 22	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	5	lsmidm 18791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑅 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
26	18, 25	sylan9eqr 2881	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
27	10	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
28	26, 27	eqeltrd 2916	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ 𝐴)
29	4, 14, 6, 7, 15, 17, 28	lsatcveq0 36172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑈 = { 0 }))
30	13, 29	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈 = { 0 })
31	30	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑅 → 𝑈 = { 0 }))
32	12, 31	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {csn 4570   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  0_gc0g 16716  SubGrpcsubg 18276  LSSumclsm 18762  LModclmod 19637  LSubSpclss 19706  LVecclvec 19877  LSAtomsclsa 36114   ⋖_L clcv 36158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-0g 16718  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-cntz 18450  df-oppg 18477  df-lsm 18764  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-drng 19507  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lvec 19878  df-lsatoms 36116  df-lcv 36159

This theorem is referenced by:  lsatcvat2  36191