Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvat 33155
Description: A nonzero subspace less than the sum of two atoms is an atom. (atcvati 28432 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0g𝑊)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcvat.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcvat.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcvat.n (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
lsatcvat.l (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat (𝜑𝑈𝐴)

Proof of Theorem lsatcvat
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.o . . 3 0 = (0g𝑊)
2 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lsatcvat.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
4 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5 lsatcvat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
65adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
7 lsatcvat.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
87adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈𝑆)
9 lsatcvat.q . . . 4 (𝜑𝑄𝐴)
109adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑄𝐴)
11 lsatcvat.r . . . 4 (𝜑𝑅𝐴)
1211adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑅𝐴)
13 lsatcvat.n . . . 4 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
1413adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
15 lsatcvat.l . . . 4 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
1615adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
17 simpr 475 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → ¬ 𝑄𝑈)
181, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17lsatcvatlem 33154 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈𝐴)
195adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
207adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑈𝑆)
2111adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑅𝐴)
229adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑄𝐴)
2313adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
24 lveclmod 18870 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
255, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
26 lmodabl 18676 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
282lsssssubg 18722 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
2925, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
302, 4, 25, 9lsatlssel 33102 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑆)
3129, 30sseldd 3565 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
322, 4, 25, 11lsatlssel 33102 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅𝑆)
3329, 32sseldd 3565 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
343lsmcom 18027 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
3527, 31, 33, 34syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
3635psseq2d 3658 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅) ↔ 𝑈 ⊊ (𝑅 𝑄)))
3715, 36mpbid 220 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑅 𝑄))
3837adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑅 𝑄))
39 simpr 475 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → ¬ 𝑅𝑈)
401, 2, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 23, 38, 39lsatcvatlem 33154 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑈𝐴)
4129, 7sseldd 3565 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
423lsmlub 17844 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑄𝑈𝑅𝑈) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ 𝑈))
4331, 33, 41, 42syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄𝑈𝑅𝑈) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ 𝑈))
44 ssnpss 3668 . . . . . 6 ((𝑄 𝑅) ⊆ 𝑈 → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
4543, 44syl6bi 241 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑈𝑅𝑈) → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅)))
4645con2d 127 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅) → ¬ (𝑄𝑈𝑅𝑈)))
47 ianor 507 . . . 4 (¬ (𝑄𝑈𝑅𝑈) ↔ (¬ 𝑄𝑈 ∨ ¬ 𝑅𝑈))
4846, 47syl6ib 239 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅) → (¬ 𝑄𝑈 ∨ ¬ 𝑅𝑈)))
4915, 48mpd 15 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑄𝑈 ∨ ¬ 𝑅𝑈))
5018, 40, 49mpjaodan 822 1 (𝜑𝑈𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  wss 3536  wpss 3537  {csn 4121  cfv 5787  (class class class)co 6524  0gc0g 15866  SubGrpcsubg 17354  LSSumclsm 17815  Abelcabl 17960  LModclmod 18629  LSubSpclss 18696  LVecclvec 18866  LSAtomsclsa 33079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-tpos 7213  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-0g 15868  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-sbg 17193  df-subg 17357  df-cntz 17516  df-oppg 17542  df-lsm 17817  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-oppr 18389  df-dvdsr 18407  df-unit 18408  df-invr 18438  df-drng 18515  df-lmod 18631  df-lss 18697  df-lsp 18736  df-lvec 18867  df-lsatoms 33081  df-lcv 33124
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  33156
  Copyright terms: Public domain W3C validator