Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsateln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsateln0 34803
Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsateln0.z 0 = (0g𝑊)
lsateln0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsateln0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsateln0.u (𝜑𝑈𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsateln0 (𝜑 → ∃𝑣𝑈 𝑣0 )
Distinct variable groups:   𝑣,𝑈   𝑣,𝑊   𝑣, 0   𝜑,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem lsateln0
StepHypRef Expression
1 lsateln0.u . . . 4 (𝜑𝑈𝐴)
2 lsateln0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 eqid 2760 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5 lsateln0.z . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
6 lsateln0.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
73, 4, 5, 6islsat 34799 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
91, 8mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10 eldifi 3875 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
113, 4lspsnid 19215 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
122, 10, 11syl2an 495 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
13 eleq2 2828 . . . . 5 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑣𝑈𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
1412, 13syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑣𝑈))
1514reximdva 3155 . . 3 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣𝑈))
169, 15mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣𝑈)
17 eldifsn 4462 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ))
1817anbi1i 733 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) ↔ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ) ∧ 𝑣𝑈))
19 anass 684 . . . . . 6 (((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ) ∧ 𝑣𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣0𝑣𝑈)))
2018, 19bitri 264 . . . . 5 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣0𝑣𝑈)))
2120simprbi 483 . . . 4 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣0𝑣𝑈))
2221ancomd 466 . . 3 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣𝑈𝑣0 ))
2322reximi2 3148 . 2 (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣𝑈 → ∃𝑣𝑈 𝑣0 )
2416, 23syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑣𝑈 𝑣0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  cdif 3712  {csn 4321  cfv 6049  Basecbs 16079  0gc0g 16322  LModclmod 19085  LSpanclspn 19193  LSAtomsclsa 34782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lsatoms 34784
This theorem is referenced by:  dvh1dim  37251  dochkr1  37287  dochkr1OLDN  37288  lcfrlem40  37391
  Copyright terms: Public domain W3C validator