Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsateln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsateln0 36011
Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsateln0.z 0 = (0g𝑊)
lsateln0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsateln0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsateln0.u (𝜑𝑈𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsateln0 (𝜑 → ∃𝑣𝑈 𝑣0 )
Distinct variable groups:   𝑣,𝑈   𝑣,𝑊   𝑣, 0   𝜑,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem lsateln0
StepHypRef Expression
1 lsateln0.u . . . 4 (𝜑𝑈𝐴)
2 lsateln0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 eqid 2818 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5 lsateln0.z . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
6 lsateln0.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
73, 4, 5, 6islsat 36007 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
91, 8mpbid 233 . . 3 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10 eldifi 4100 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
113, 4lspsnid 19694 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
122, 10, 11syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
13 eleq2 2898 . . . . 5 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑣𝑈𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
1412, 13syl5ibrcom 248 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑣𝑈))
1514reximdva 3271 . . 3 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣𝑈))
169, 15mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣𝑈)
17 eldifsn 4711 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ))
1817anbi1i 623 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) ↔ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ) ∧ 𝑣𝑈))
19 anass 469 . . . . . 6 (((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ) ∧ 𝑣𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣0𝑣𝑈)))
2018, 19bitri 276 . . . . 5 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣0𝑣𝑈)))
2120simprbi 497 . . . 4 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣0𝑣𝑈))
2221ancomd 462 . . 3 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣𝑈𝑣0 ))
2322reximi2 3241 . 2 (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣𝑈 → ∃𝑣𝑈 𝑣0 )
2416, 23syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑣𝑈 𝑣0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  cdif 3930  {csn 4557  cfv 6348  Basecbs 16471  0gc0g 16701  LModclmod 19563  LSpanclspn 19672  LSAtomsclsa 35990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lsatoms 35992
This theorem is referenced by:  dvh1dim  38458  dochkr1  38494  dochkr1OLDN  38495  lcfrlem40  38598
  Copyright terms: Public domain W3C validator