Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatspn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatspn0 33104
Description: The span of a vector is an atom iff the vector is nonzero. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatspn0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatspn0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatspn0.o 0 = (0g𝑊)
lsatspn0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
isateln0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
isateln0.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsatspn0 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴𝑋0 ))

Proof of Theorem lsatspn0
StepHypRef Expression
1 lsatspn0.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
2 lsatspn0.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3 isateln0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
43adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
5 simpr 475 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
61, 2, 4, 5lsatn0 33103 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 })
7 sneq 4130 . . . . . . . 8 (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
87fveq2d 6088 . . . . . . 7 (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
98adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
104adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
11 lsatspn0.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
121, 11lspsn0 18771 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
149, 13eqtrd 2639 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
1514ex 448 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
1615necon3d 2798 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 } → 𝑋0 ))
176, 16mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑋0 )
18 lsatspn0.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
193adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
20 isateln0.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
2120adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋𝑉)
22 simpr 475 . . . 4 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋0 )
23 eldifsn 4255 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
2421, 22, 23sylanbrc 694 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2518, 11, 1, 2, 19, 24lsatlspsn 33097 . 2 ((𝜑𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
2617, 25impbida 872 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴𝑋0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  cdif 3532  {csn 4120  cfv 5786  Basecbs 15637  0gc0g 15865  LModclmod 18628  LSpanclspn 18734  LSAtomsclsa 33078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-plusg 15723  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-mgp 18255  df-ring 18314  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-lsatoms 33080
This theorem is referenced by:  lsator0sp  33105  lcfl8b  35610  mapdpglem5N  35783  mapdpglem30a  35801  mapdpglem30b  35802
  Copyright terms: Public domain W3C validator