Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrex 36134
Description: There exists a functional whose kernel equals a given hyperplane. Part of Th. 1.27 of Barbu and Precupanu, Convexity and Optimization in Banach Spaces. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrex.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrex.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpkrex.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpkrex ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑔)

Proof of Theorem lshpkrex
Dummy variables 𝑧 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2818 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3 eqid 2818 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4 eqid 2818 . . . . 5 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
5 lshpkrex.h . . . . 5 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6 lveclmod 19807 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
71, 2, 3, 4, 5, 6islshpsm 35996 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))))
8 simp3 1130 . . . 4 ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
97, 8syl6bi 254 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐻 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)))
109imp 407 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
11 eqid 2818 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
12 simp1l 1189 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
13 simp1r 1190 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑈𝐻)
14 simp2 1129 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))
15 simp3 1130 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
16 eqid 2818 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
18 eqid 2818 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
19 eqid 2818 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧))))
20 lshpkrex.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
211, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20lshpkrcl 36132 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧)))) ∈ 𝐹)
22 lshpkrex.k . . . . 5 𝐾 = (LKer‘𝑊)
231, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22lshpkr 36133 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧))))) = 𝑈)
24 fveqeq2 6672 . . . . 5 (𝑔 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧)))) → ((𝐾𝑔) = 𝑈 ↔ (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧))))) = 𝑈))
2524rspcev 3620 . . . 4 (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧)))) ∈ 𝐹 ∧ (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧))))) = 𝑈) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑈)
2621, 23, 25syl2anc 584 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑈)
2726rexlimdv3a 3283 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑈))
2810, 27mpd 15 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  {csn 4557  cmpt 5137  cfv 6348  crio 7102  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  LSSumclsm 18688  LSubSpclss 19632  LSpanclspn 19672  LVecclvec 19803  LSHypclsh 35991  LFnlclfn 36073  LKerclk 36101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lshyp 35993  df-lfl 36074  df-lkr 36102
This theorem is referenced by:  lshpset2N  36135  mapdordlem2  38653
  Copyright terms: Public domain W3C validator