Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrex 33882
 Description: There exists a functional whose kernel equals a given hyperplane. Part of Th. 1.27 of Barbu and Precupanu, Convexity and Optimization in Banach Spaces. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrex.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrex.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpkrex.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpkrex ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑔)

Proof of Theorem lshpkrex
Dummy variables 𝑧 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2621 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3 eqid 2621 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4 eqid 2621 . . . . 5 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
5 lshpkrex.h . . . . 5 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6 lveclmod 19025 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
71, 2, 3, 4, 5, 6islshpsm 33744 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))))
8 simp3 1061 . . . 4 ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
97, 8syl6bi 243 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐻 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)))
109imp 445 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
11 eqid 2621 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
12 simp1l 1083 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
13 simp1r 1084 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑈𝐻)
14 simp2 1060 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))
15 simp3 1061 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
16 eqid 2621 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
18 eqid 2621 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
19 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧))))
20 lshpkrex.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
211, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20lshpkrcl 33880 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧)))) ∈ 𝐹)
22 lshpkrex.k . . . . 5 𝐾 = (LKer‘𝑊)
231, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22lshpkr 33881 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧))))) = 𝑈)
24 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧)))) → (𝐾𝑔) = (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧))))))
2524eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑔 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧)))) → ((𝐾𝑔) = 𝑈 ↔ (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧))))) = 𝑈))
2625rspcev 3295 . . . 4 (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧)))) ∈ 𝐹 ∧ (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑧))))) = 𝑈) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑈)
2721, 23, 26syl2anc 692 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑈)
2827rexlimdv3a 3026 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑈))
2910, 28mpd 15 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝐻) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908  {csn 4148   ↦ cmpt 4673  ‘cfv 5847  ℩crio 6564  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  LSSumclsm 17970  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890  LVecclvec 19021  LSHypclsh 33739  LFnlclfn 33821  LKerclk 33849 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lshyp 33741  df-lfl 33822  df-lkr 33850 This theorem is referenced by:  lshpset2N  33883  mapdordlem2  36403
 Copyright terms: Public domain W3C validator