Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrlem1 34223
Description: Lemma for lshpkrex 34231. The value of tentative functional 𝐺 is zero iff its argument belongs to hyperplane 𝑈. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a + = (+g𝑊)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkrlem.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkrlem.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpkrlem.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkrlem.o 0 = (0g𝐷)
lshpkrlem.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝐺𝑋) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lshpkrlem1
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19100 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lshpkrlem.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
54lmodfgrp 18866 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
6 lshpkrlem.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐷)
7 lshpkrlem.o . . . . 5 0 = (0g𝐷)
86, 7grpidcl 17444 . . . 4 (𝐷 ∈ Grp → 0𝐾)
93, 5, 83syl 18 . . 3 (𝜑0𝐾)
10 lshpkrlem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lshpkrlem.a . . . 4 + = (+g𝑊)
12 lshpkrlem.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13 lshpkrlem.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
14 lshpkrlem.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
15 lshpkrlem.u . . . 4 (𝜑𝑈𝐻)
16 lshpkrlem.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
17 lshpkrlem.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
18 lshpkrlem.e . . . 4 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
19 lshpkrlem.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
2010, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18, 4, 6, 19lshpsmreu 34222 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
21 oveq1 6654 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑘 · 𝑍) = ( 0 · 𝑍))
2221oveq2d 6663 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)))
2322eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
2423rexbidv 3050 . . . 4 (𝑘 = 0 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
2524riota2 6630 . . 3 (( 0𝐾 ∧ ∃!𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) → (∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
269, 20, 25syl2anc 693 . 2 (𝜑 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
27 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
28 eqidd 2622 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋 = 𝑋)
29 eqeq2 2632 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝑋 = 𝑏𝑋 = 𝑋))
3029rspcev 3307 . . . . . 6 ((𝑋𝑈𝑋 = 𝑋) → ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏)
3127, 28, 30syl2anc 693 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏)
3231ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑈 → ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏))
33 eleq1a 2695 . . . . . 6 (𝑏𝑈 → (𝑋 = 𝑏𝑋𝑈))
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑏𝑈 → (𝑋 = 𝑏𝑋𝑈)))
3534rexlimdv 3028 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏𝑋𝑈))
3632, 35impbid 202 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏))
37 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑊) = (0g𝑊)
3810, 4, 19, 7, 37lmod0vs 18890 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → ( 0 · 𝑍) = (0g𝑊))
393, 16, 38syl2anc 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 0 · 𝑍) = (0g𝑊))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑈) → ( 0 · 𝑍) = (0g𝑊))
4140oveq2d 6663 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = (𝑏 + (0g𝑊)))
421adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
4342, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
44 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4544, 14, 3, 15lshplss 34094 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
4610, 44lssel 18932 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑏𝑈) → 𝑏𝑉)
4745, 46sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑈) → 𝑏𝑉)
4810, 11, 37lmod0vrid 18888 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝑉) → (𝑏 + (0g𝑊)) = 𝑏)
4943, 47, 48syl2anc 693 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑏 + (0g𝑊)) = 𝑏)
5041, 49eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = 𝑏)
5150eqeq2d 2631 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑏))
5251bicomd 213 . . . 4 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑋 = 𝑏𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
5352rexbidva 3047 . . 3 (𝜑 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏 ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
5436, 53bitrd 268 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
55 eqeq1 2625 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
5655rexbidv 3050 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
5756riotabidv 6610 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
58 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
59 riotaex 6612 . . . . . 6 (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ V
6057, 58, 59fvmpt 6280 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
61 oveq1 6654 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
6261eqeq2d 2631 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6362cbvrexv 3170 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
6463a1i 11 . . . . . 6 (𝑘𝐾 → (∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6564riotabiia 6625 . . . . 5 (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
6660, 65syl6eq 2671 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6717, 66syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6867eqeq1d 2623 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑋) = 0 ↔ (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
6926, 54, 683bitr4d 300 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝐺𝑋) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wrex 2912  ∃!wreu 2913  {csn 4175  cmpt 4727  cfv 5886  crio 6607  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  +gcplusg 15935  Scalarcsca 15938   ·𝑠 cvsca 15939  0gc0g 16094  Grpcgrp 17416  LSSumclsm 18043  LModclmod 18857  LSubSpclss 18926  LSpanclspn 18965  LVecclvec 19096  LSHypclsh 34088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-tpos 7349  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-sbg 17421  df-subg 17585  df-cntz 17744  df-lsm 18045  df-cmn 18189  df-abl 18190  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-oppr 18617  df-dvdsr 18635  df-unit 18636  df-invr 18666  df-drng 18743  df-lmod 18859  df-lss 18927  df-lsp 18966  df-lvec 19097  df-lshyp 34090
This theorem is referenced by:  lshpkr  34230
  Copyright terms: Public domain W3C validator