Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrlem3 36128
Description: Lemma for lshpkrex 36134. Defining property of 𝐺𝑋. (Contributed by NM, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a + = (+g𝑊)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkrlem.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkrlem.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpkrlem.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkrlem.o 0 = (0g𝐷)
lshpkrlem.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem3 (𝜑 → ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺𝑋) · 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑧, +   𝑧,𝐺   𝑧,𝑈   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍,𝑘,𝑥,𝑦   𝑧, ·
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐾(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   0 (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lshpkrlem3
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lshpkrlem.a . . . . 5 + = (+g𝑊)
3 lshpkrlem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lshpkrlem.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
5 lshpkrlem.h . . . . 5 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6 lshpkrlem.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lshpkrlem.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝐻)
8 lshpkrlem.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
9 lshpkrlem.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
10 lshpkrlem.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
11 lshpkrlem.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
12 lshpkrlem.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐷)
13 lshpkrlem.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lshpsmreu 36125 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
15 riotasbc 7121 . . . 4 (∃!𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) → [(𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝜑[(𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
17 eqeq1 2822 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
1817rexbidv 3294 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
1918riotabidv 7105 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) = (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
20 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
21 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
2221oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)))
2322eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍))))
2423rexbidv 3294 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍))))
25 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
2625eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
2726cbvrexvw 3448 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
2824, 27syl6bb 288 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
2928cbvriotavw 7113 . . . . . . 7 (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
3029mpteq2i 5149 . . . . . 6 (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) = (𝑥𝑉 ↦ (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
3120, 30eqtri 2841 . . . . 5 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
32 riotaex 7107 . . . . 5 (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) ∈ V
3319, 31, 32fvmpt 6761 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝐺𝑋) = (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
34 dfsbcq 3771 . . . 4 ((𝐺𝑋) = (𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) → ([(𝐺𝑋) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ [(𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
359, 33, 343syl 18 . . 3 (𝜑 → ([(𝐺𝑋) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ [(𝑙𝐾𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
3616, 35mpbird 258 . 2 (𝜑[(𝐺𝑋) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
37 fvex 6676 . . 3 (𝐺𝑋) ∈ V
38 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑙 = (𝐺𝑋) → (𝑙 · 𝑍) = ((𝐺𝑋) · 𝑍))
3938oveq2d 7161 . . . . 5 (𝑙 = (𝐺𝑋) → (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) = (𝑧 + ((𝐺𝑋) · 𝑍)))
4039eqeq2d 2829 . . . 4 (𝑙 = (𝐺𝑋) → (𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺𝑋) · 𝑍))))
4140rexbidv 3294 . . 3 (𝑙 = (𝐺𝑋) → (∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺𝑋) · 𝑍))))
4237, 41sbcie 3809 . 2 ([(𝐺𝑋) / 𝑙]𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺𝑋) · 𝑍)))
4336, 42sylib 219 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺𝑋) · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  ∃!wreu 3137  [wsbc 3769  {csn 4557  cmpt 5137  cfv 6348  crio 7102  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  LSSumclsm 18688  LSpanclspn 19672  LVecclvec 19803  LSHypclsh 35991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lshyp 35993
This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  36131
  Copyright terms: Public domain W3C validator