Theorem lshpkrlem6 36243

Description: Lemma for lshpkrex 36246. Show linearlity of 𝐺. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   𝑈,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑙   𝑢,𝑘,𝑣,𝑥,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   + (𝑣,𝑢)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   · (𝑣,𝑢)   𝑈(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑢)   0 (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem lshpkrlem6

Dummy variables 𝑧 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkrlem.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpkrlem.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lshpkrlem.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lshpkrlem.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkrlem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lshpkrlem.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	6	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LVec)
8		lshpkrlem.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
9	8	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑈 ∈ 𝐻)
10		lshpkrlem.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
12		simpr2 1190	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑢 ∈ 𝑉)
13		lshpkrlem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
14	13	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
15		lshpkrlem.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
16		lshpkrlem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
17		lshpkrlem.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18		lshpkrlem.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
19		lshpkrlem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
20	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19	lshpkrlem3 36240	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ∃𝑟 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
21		simpr3 1191	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
22	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 21, 14, 15, 16, 17, 18, 19	lshpkrlem3 36240	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ∃𝑠 ∈ 𝑈 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
23		lveclmod 19870	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
24	7, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
25		simpr1 1189	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑙 ∈ 𝐾)
26	1, 15, 17, 16	lmodvscl 19643	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉)
27	24, 25, 12, 26	syl3anc 1366	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉)
28	1, 2	lmodvacl 19640	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉)
29	24, 27, 21, 28	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉)
30	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 29, 14, 15, 16, 17, 18, 19	lshpkrlem3 36240	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))
31		3reeanv 3367	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝑈 ∃𝑠 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) ↔ (∃𝑟 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑈 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))))
32		simp1l 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝜑)
33		simp1r1 1264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑙 ∈ 𝐾)
34		simp1r2 1265	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑢 ∈ 𝑉)
35		simp1r3 1266	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑣 ∈ 𝑉)
36		simp2ll 1235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑟 ∈ 𝑈)
37		simp2lr 1236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑠 ∈ 𝑈)
38		simp2r 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑧 ∈ 𝑈)
39	37, 38	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑠 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈))
40		simp31 1204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
41		simp32 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
42		simp33 1206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))
43	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 18, 19	lshpkrlem5 36242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈 ∧ (𝑠 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))
44	32, 33, 34, 35, 36, 39, 40, 41, 42, 43	syl333anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))
45	44	3exp 1114	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))))
46	45	expdimp 455	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈)) → (𝑧 ∈ 𝑈 → ((𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))))
47	46	rexlimdv 3281	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣))))
48	47	rexlimdvva 3292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (∃𝑟 ∈ 𝑈 ∃𝑠 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣))))
49	31, 48	syl5bir 245	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ((∃𝑟 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑈 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣))))
50	20, 22, 30, 49	mp3and 1458	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3137  {csn 4559   ↦ cmpt 5137  ‘cfv 6348  ℩crio 7105  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705  LSSumclsm 18751  LModclmod 19626  LSpanclspn 19735  LVecclvec 19866  LSHypclsh 36103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-lshyp 36105

This theorem is referenced by:  lshpkrcl  36244